波動率
用隨機波動率建模幾何布朗運動價格模型
我想在隨機波動率假設下使用多項幾何布朗運動為幾隻股票生成場景（模擬過程的幾條路徑）。我將在我的投資組合優化任務中使用它。首先，我嘗試使用 Copula-GARCH 模型對隨機波動率進行建模（因為投資組合必須對每隻股票的波動率（離散度）和依賴性（共變異數）進行建模）。我試圖找到一些文章，它們使用了類似的方法但沒有找到。
所以我有兩個問題：為什麼這些模型如此不受歡迎？還有哪些替代方案可以模擬金融資產之間的依賴關係？
我發現研究為 GBM 添加了另一個模擬波動性的過程，如下所示：
$ dS_t = \mu S_{t}dt + \sigma(Y_t)S_tdW_{1t}, $
$ dY_t = \theta(w-Y_t)dt + \epsilon \sqrt(Y_t)dW_{2t} $
但我不明白在這種情況下如何建模依賴關係。
謝謝你。
讓我試著回答，這個話題比我的回答要深得多
1. 為什麼這些模型如此不受歡迎？
- 首先，這些模型產生不適合市場的邊際分佈，這意味著它們無法重現市場上交易的普通期權價格
- SV 模型，例如 Heston 模型，可能適合一些普通價格，它們不能適合整個表面，根據 Gongy 引理 $$ E[v_t|S_1]=\sigma_{Dupire}(S_1,t)^2 $$
- $ v_t = $ 資產的隨機變異數
- 如果您的模型想要擬合 iv 曲面，則必須滿足此條件
- 如果您正在交易諸如籃子期權/自動認購之類的異國情調，您通常會用香草對沖它。使用無法擬合隱含波動率表面的模型，意味著您的套期工具的模型值是錯誤的
2. 有哪些替代方案可以模擬金融資產之間的依賴關係？
- 您可以從多資產局部波動率 (LV) 模型開始 $$ \frac{dS_i}{S_i}=\sigma_{Dupire_i}(S_i,t)dW_i $$ $$ dW_idW_j=\rho_{ij}dt $$
- 多資產 LV 模型可以擬合每個底層證券的隱含波動率表面，即市場隱含的正確邊際分佈
- 但它們具有恆定的瞬時現貨/現貨相關性，而市場通常表現出相關性偏斜
- 他們假設 100% 的現貨/成交量相關性，這是不現實的
- 多資產局部隨機波動率 (LSV) 模型將具有 SV 組件和 LV 組件 $$ \frac{dS_i}{S_i}=A_i(S_i,t)\sqrt{v_i}dW_i $$
$$ dv_i = \alpha(v_i,t)dt + \beta(v_i,t)dW_{v_i} $$
$$ \sigma_{Dupire_i}(S_i,t)^2 = A_i(S_i,t)^2E[v_i|S_i] $$
$$ dW_idW_j=\rho_{ij}dt,\ dW_idW_{v_i}=\rho_{S_iv_i}dt,\ dW_idW_{v_j}=\rho_{S_iv_j}dt $$
- 它完美契合每個底層證券的隱含 vol 表面，同時保持您想要的 SV 動態 $$ E[A_i(S_i,t)^2v_i|S_i]=E[\frac{\sigma_{Dupire_i}(S_i,t)^2}{E[v_i|S_i]}v_i|S_i]=\sigma_{Dupire_i}(S_i,t)^2 $$
- LSV 通常表現出相關偏斜
- 選擇一個好的 SV 也是最重要的，即使你有 LV 組件來調整原始價格，如果你的 SV 動態遠離現實中的 vol 動態，該模型將為多資產支付給出荒謬的價格