蒙地卡羅、凸性和風險中性 ZCB 定價
我已經建立了一個簡單的 Excel 蒙地卡羅模型來為零息債券定價，但它得出的結果有點出乎意料，所以我想確認我的數學是有點生疏還是我的模型是錯誤的。
假設我們有一個價格為 40 年的 ZCB $ P_t $ 這相當於一個固定的折現率 $ z_t $ 有時 $ t $ ; 即價格 $ P_t = \exp(-(40 - t) \cdot z_t) $ ，讓我們說 $ z_0 = 2% $ 在這種情況下 。（這顯然不同於通常的零息債券與利率定價公式， $ P_t = \mathbb{E}[\exp(-\int_t r_t)] $ ，因為它指的是債券剩餘期限內的單一“平均”利率）
蒙地卡羅從這種傳播開始 $ z_0 $ ，它在每個週期之後隨機演化，沒有漂移，根據 $ z_{t+\Delta t} = z_t + (\sigma \cdot \sqrt{\Delta t} \cdot \omega) $ 在哪裡 $ \sigma $ 是一個 vol 參數並且 $ \omega \sim \text{N}(0,1) $ .
在 30 年，我查看了 $ z_{30} $ ，然後推斷債券的價格為 $ P_{30} = \exp (-(40 - 30) \cdot z_{30}) $ .
在執行了多次蒙特卡羅模擬後，我取了平均價差 $ z_t $ 在 $ t = 30 $ , 不出所料地等於 $ 2% = z_0 $ , 和平均價格 $ P_{30} $ 在所有這些執行中。
我期待這個平均價格大約是 $ \exp (-(40 - 30) \cdot z_{0}) = \exp(-10 \cdot 2%)) = \exp (-(40 - 30) \cdot \mathbb{E}(z_{30})) $ 但實際上該值始終高於 .
在某種程度上，我可以為自己證明這一點；債券價格是凸的，因此在絕對值上，當價差以相同的幅度縮小或擴大時，您將看到比負損失更大的絕對正收益 $ % $ 金額（假設平均價差仍以 $ z_0 = 2% $ ).
但另一方面，這意味著您在蒙地卡羅的預期債券價格是波動率的函式： $ \sigma = 0 $ 給你 $ z_{30} = z_0 $ 在所有情況下，因此預期價格低於某些情況 $ \sigma > 0 $ . 我不會直覺地期望隨著時間的推移預期的債券價格取決於波動率，即使漂移為零；畢竟這不是一種期權類型的回報，而且我以前從未見過將債券價格視為波動率的函式。諸如此類的討論讓我認為 $ +\sigma^2/2 $ 對數正態預期效應，使收益超過損失，應由 $ -\sigma^2/2 $ 預期布朗運動路徑中的術語（儘管不可否認，這與該連結中的安全性略有不同），但我的模型似乎另有建議。
我在這裡想念什麼？我的模型是否錯誤，我是否試圖調和 2 個根本不同的數量，或者非零 vol 的預期債券價格是否真的高於以預期價差折現的債券價格？
這裡沒有什麼神秘之處。
如果 $ X $ 是高斯的， $ E[e^X] = e^{E[X]+\frac{1}{2}V[X]} $
在你的情況下，
$$ P_{30} = E[e^{-(40-30)z_{30}}] = e^{-E[(40-30)z_{30}] +\frac{1}{2}V[(40-30)z_{30}]]} > e^{-(40-30)E[z_{30}]} = e^{-(40-30)z_0} $$ 您正在模擬整條路徑這一事實無關緊要，因為您也可以模擬 $ z_{30} $ 一步到位。我不明白你關於預期布朗路徑的觀點。
在我看來，你的表述沒有任何問題。如果您使用固定均值對利率 z_30 進行建模，那麼遠期 ZCB 價格確實是長期 vega。這意味著遠期利率是空頭 vega（即 30 年到 10 年期的遠期利率在 vol 上升時下降）。這是自洽的。
然而，在大多數教科書中，遠期利率和遠期債券價格都是給定的。因此，當您測量某些工具的 vega 時，您保持遠期匯率不變。因此，根據定義，債券沒有 vega。要生成這樣的模型，必須設置遠期利率分佈的平均值，以便正確地重新定價遠期利率。究竟如何做到這一點，取決於您所處的機率度量。
例如，收益與掉期利率呈線性關係的 CMS 合約在教科書模型中具有非零 vega，但在您建構的模型中將具有零 vega。