GARCH 方程中的多步超前預測
如果我對 GARCH(1,1)-X 的領先一步預測是： $$ \begin{equation} \hat{h}_{t+1} = \hat{\alpha}_0 + \hat{\alpha}_1 \hat{u}^2_t + \hat{\beta}_1 \hat{h}_t + \hat{\psi} X_t \end{equation} $$ 在哪裡 $ \hat{\alpha}_0,, \hat{\alpha}_1,,\hat{u}^2_t,, \hat{\beta},, \hat{h}_t $ 和 $ \hat{\psi} $ 表示 GARCH(1,1)-X 估計 $ \alpha_0, \alpha_1,u^2_t, \beta_1, h_t, \psi $ 分別。
此外，GJR-GARCH(1,1) 預測的領先一步預測是： $$ \begin{equation} \hat{h}_{t+1} = \hat{\alpha}_0 + \hat{\alpha}1 \hat{u}^2_t + \hat{\beta}1 \hat{h}t + \hat{\gamma} \hat{u}^2{t}I{u{t}<0} +\hat{\psi} X_t \end{equation} $$ 在哪裡 $ \hat{\alpha}_0,, \hat{\alpha}_1,,\hat{u}^2_t,, \hat{\beta},, \hat{h}_t,, \hat{\gamma} $ 和 $ \hat{\psi} $ 表示 GJR-GARCH(1,1)-X 估計 $ \alpha_0, \alpha_1,u^2_t, \beta_1, h_t, \gamma $ 和 $ \psi $ 分別。
我如何為 GARCH(1,1)-X 和 GJR-GARCH(1,1)-X 兩個方程提前寫出 h 步 (h>1)？
$ k $ -GJR-GARCH 模型的超前預測：
讓我們按照您的符號簡要定義貶低的退貨流程： $$ \begin{align*} r_{t+1} &= u_{t+1}\ u_{t+1} &= \sqrt{h_{t+1}} z_{t+1}, \end{align*} $$ 在哪裡 $ z_{t+1} \overset{iid}{\sim} D(0,1) $ 是一個標準化分佈，並且 $ h_{t+1} $ 遵循 GJR-GARCH 模型：
$$ h_{t+1} = \alpha_0 + \alpha_1u_t^2 + \beta_1 h_t + \gamma u_t^2 I_{{u_t<0}}. $$
GARCH 模型的 1 步提前預測在當時是已知的 $ t $ 每個構造，因此，我們將關注 GJR-GARCH 模型的 2 步和 3 步提前預測。
我們按照與本文中提供的相同論證獲得了2 步提前預測****$$ 1 $$：
$$ \begin{align} \mathbb{E}t\left[h{t+2}\right] &= \alpha_0 + \alpha_1 \mathbb{E}t\left[u^2{t+1}\right] + \gamma \mathbb{E}t\left[u^2{t+1} I_{{u_{t+1}<0}}\right] + \beta_1 \mathbb{E}t\left[h{t+1}\right]\ &=\alpha_0 + \alpha_1 \mathbb{E}t\left[h{t+1}\right] + \gamma \mathbb{E}t\left[h{t+1}\right] \mathbb{E}t\left[I{{u_{t+1}<0}}\right] + \beta_1 \mathbb{E}t\left[h{t+1}\right]\ &\overset{\star}{=} \alpha_0 + \alpha_1 \mathbb{E}t\left[h{t+1}\right] + \frac{\gamma}{2} \mathbb{E}t\left[h{t+1}\right] + \beta_1 \mathbb{E}t\left[h{t+1}\right]\ &= \alpha_0 + \left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right)\mathbb{E}t\left[h{t+1}\right]\ &= \alpha_0 + \left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right) \left(\alpha_0 + \alpha_1u_t^2 + \beta_1 h_t + \gamma u_t^2 I_{{u_t<0}}\right)\ &= \alpha_0 + \left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right) \alpha_0 +\left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right) \left(\alpha_1u_t^2 + \beta_1 h_t + \gamma u_t^2 I_{{u_t<0}}\right) \end{align} $$
我們在哪裡 $ (\star) $ 假設分佈 $ u_t $ 是關於 0 對稱的，這樣 $ \mathbb{E}t\left[u^2{t+1}\right] \mathbb{E}t\left[I{{u_{t+1}<0}}\right] = \frac{1}{2}\mathbb{E}t\left[h{t+1}\right] $ . $ ^{[1]} $
您可以以類似的方式得出提前 3 步的預測，並獲得以下資訊：
$ \displaystyle{ \begin{align*} \mathbb{E}t\left[h{t+3}\right] &= \alpha_0 + \left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right) \alpha_0 + \left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right)^2 \mathbb{E}t\left[h{t+1}\right]\ &=\alpha_0 + \left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right) \alpha_0 + \left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right)^2\left(\alpha_0 + \alpha_1u_t^2 + \beta_1 h_t + \gamma u_t^2 I_{{u_t<0}}\right)\ &=\alpha_0 + \left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right) \alpha_0 + \left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right)^2 \alpha_0 \ &+ \left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right)^2 \left( \alpha_1u_t^2 + \beta_1 h_t + \gamma u_t^2 I_{{u_t<0}}\right) \end{align*} } $
從這兩個例子中，我們可以觀察到多步提前預測方程的遞歸特徵。就這樣 $ k $ - 提前預測 $ k \geq 2 $ 是（誰）給的：
$$ \mathbb{E}t\left[h{t+k}\right] = \sum_{i=0}^{k-1} \alpha_0 \left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right)^i + \left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right)^{k-1} \left(\alpha_1u_t^2 + \beta_1 h_t + \gamma u_t^2 I_{{u_t<0}}\right) $$
**$$ 1 $$：*等式和相應的推導參見Zivot, E. (2009) 第 28 - 29 頁。單變數 GARCH 模型分析中的實際問題。*如果你想引用一個來源。