波動率
正常與對數正常隱含波動率
我指的是之前的討論，我們如何知道市場報價的波動率是正常的（Bachelier 模型）還是對數正常的（Black 76）？
對於短期利率情況，這兩種類型的波動率之間是否存在任何近似關係，因為我們有報價
log-normal。
Pat Hagan 在著名的 SABR 論文《管理微笑風險》中很好地描述了這一點。等式（B.64）中給出的近似關係為 $$ \sigma_N \approx \sigma_B \frac{f-K}{\ln f/K}\left(1-\frac{\sigma_B^2 T}{24}\right), $$ 在哪裡 $ \sigma_N $ 是正常（或 Bachelier）體積， $ \sigma_B $ 是 Black-Scholes 波動率， $ f $ 是遠期價格， $ T $ 期權到期時間，以及 $ K $ 期權罷工。特別是，我們有 $ \sigma_N \approx \sigma_B f $ .
存在非常快速的算法，允許以接近機器 epsilon 的精度將 Black vol 轉換為正常（或 bp vol）vol。它們從期權價格開始，您只需使用 Black-Scholes 公式 $ \sigma_B $ 獲得它。