關於伊藤引理的應用
假設瞬時收益由連續時間鞅產生：
$$ dp_t = \sigma_t dW_t $$ 在哪裡 $ W_t $ 表示標準 Weiner 過程，一日收益表示為 $ r_{t+1} = p_{t+1} - p_t $ . 那麼根據伊藤引理，我們有：
$$ E_t (r_{t+1}^2) = E_t \Bigg( \int_0^1 r_{t + \tau}^2 d \tau \Bigg) = E_t \Bigg( \int_0^1 \sigma_{t + \tau}^2 d \tau \Bigg) = \int_0^1 E_{t} \Bigg( \sigma_{t + \tau}^2 \Bigg) d \tau $$ 在哪裡 $ E_t $ 表示時間 t 的條件期望。
我對 Ito 的引理應用程序非常生疏，似乎不記得在哪裡 $ d \tau $ 來自。有人介意解釋這三個等式嗎？
根據伊藤等軸測，
$$ \begin{align*} E_t (r^2_{t+1}) &= E_t \bigg(\int_t^{t+1} \sigma_s dW_s \int_t^{t+1} \sigma_s dW_s\bigg)\ &= E_t \bigg(\int_t^{t+1} \sigma_{\tau}^2 ,d\tau\bigg) \ &= E_t\bigg(\int_0^1 \sigma_{\tau+t}^2 ,d\tau\bigg) \ &=\int_0^1 E_t\big(\sigma_{\tau+t}^2\big) ,d\tau. \end{align*} $$ 身份 $$ \begin{align*} E_t (r^2_{t+1}) &= E_t\bigg(\int_0^1 r_{\tau+t}^2 ,d\tau\bigg) \end{align*} $$ 馬虎。最好寫成 $$ \begin{align*} E_t (r^2_{t+1}) &= E_t\bigg(\int_0^1 d\langle r_{\tau+t}, r_{\tau+t}\rangle\bigg), \end{align*} $$ 在哪裡 $ \langle r_{\tau+t}, r_{\tau+t}\rangle $ 是二次變分。