溢價貨幣和波動率
貨幣對的波動性是否取決於支付保費的貨幣？例如，如果保費以美元而不是日元支付，美元日元的波動性會發生變化嗎？對此有任何數學公式嗎？
這取決於你所說的回報是什麼意思。對於簡單的返回：否，對於日誌返回是。回顧一下，簡單的回報由下式給出 $$ R_\textrm{simple} = \frac{P_{t+1}}{P_t}-1 $$ 日誌返回由下式給出 $$ R_\textrm{log} = \log \left(\frac{P_{t+1}}{P_t}\right). $$ 變化率由下式給出 $$ R = \frac{P_{t+1}}{P_t}. $$
一對貨幣中一種貨幣的百分比增加，意味著相同大小的另一種貨幣減少，所以 $$ R^\textrm{USDJPY} = \frac{P_{t+1}}{P_t} = x $$ 暗示 $$ R^\textrm{JPYUSD}\frac{P’_{t+1}}{P’_t} = \frac{1}{x} $$ 在哪裡 $ P’_t $ 是反向速率。
換句話說，如果歐元兌美元今天交易價格為 1.20，明天交易價格為 1.212，那麼從美元的角度來看，回報是 $ 1.212 / 1.20 - 1 = 1% $ 今天，美元持有者持有 120 美分的美元，明天他將持有 1.212 美分的美元。另一方面，從歐元的角度來看，損失是 $ 1.20 / 1.212 - 1 = -0.99% $ .
我們現在可以做一個簡單的實驗來感受 R 中這些類型的回報的波動性：
> # Simple returns > set.seed(1) > returns <- rnorm(10, 1, 0.01) # One added back to R_simple > returns [1] 0.9937355 1.0018364 0.9916437 1.0159528 1.0032951 0.9917953 1.0048743 [8] 1.0073832 1.0057578 0.9969461 > sd(returns - 1) [1] 0.00780586 > sd(1/returns - 1) [1] 0.007769419顯然，簡單回報的波動性是不一樣的。使用相同的樣本表明對數收益的波動性是相等的：
> sd(log(returns)) [1] 0.0077874 > sd(log(1/returns)) [1] 0.0077874這可以顯示為始終保持 $ x $ 定義如上。日誌返回 $ P_t $ 和 $ P’_t $ 然後由 $ \log(x) $ 和 $$ \begin{align} \log(1/x) &=\log{1} - \log{x} \ &= -\log{x} \end{align} $$
樣本的標準偏差等於圍繞其平均值鏡像的標準偏差。