實現的波動率與對數回報的標準差
我有興趣計算高頻 5 分鐘盤中波動率。我將使用標準的已實現波動率，它是對數回報平方和的平方根。
給定 X 是股票的對數價格，對數收益 Y 計算為$$ log \ returns = Y = \frac{x_i+1}{x_i} $$
那麼實現的變異數是對數回報的平方和：
$$ Realized\ Variance = \sum\limits_{i=1}^{n} (y_{t_{i}})^2 $$
$$ Realized \ Volatility = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n} (y_{t_{i}})^2 } $$
對於 5 分鐘的實際波動率 n = 78（紐約證券交易所交易日有 6.5 小時）
現在，如果 Y 是對數回報並且 Y 的平均值假設為零，您還可以計算標準偏差
$$ standard \ deviation = \sqrt{\frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^{N} (y_i)^2} $$
所以你可以看到 Y 的已實現波動率和 Y 的標準差之間的唯一區別是 $ \frac{1}{N} $ 標準差計算中的術語。
你能解釋一下這件事的意義嗎？為什麼實現的變異數沒有 1/N，如何解釋 2？
這完全是頻率問題。例如，如果您想獲得年度實際波動率，您可以將最後一個表達式乘以 $ \sqrt{(N*251)} $ 或倒數第二個表達式 $ \sqrt{(251)} $ .
換句話說，您的最後一個表達式是 5 分鐘的已實現波動率，而倒數第二個表達式是每日已實現的波動率。
- 您對日誌返回的定義是錯誤的，它是 $ y_i = \ln{(x_{i+1}/x_i)} $
- 您有 5 分鐘的回報，因此您將首先計算 5 分鐘的變異數：
$ Variance = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N y_i^2 = \sum_{i=1}^N w_iy_i^2 $
在這裡我們有 $ w_i = 1/N $ . 通過這樣做，您假設 $ y_i $ 是獨立同分佈的，一個相對強的假設。“均勻分佈”是指變異數在時間上呈線性分佈。如果您不認為它們是相同分佈的（例如，如果您認為日中收益的波動性小於日終收益的波動性），您可以通過更改 $ w_i $ .
- 您可能還希望將隔夜收益納入您的計算中。重要與否，這取決於您計算變異數的目的。如果它僅用於盤中目的，那麼您就不需要它。
如果您想處理比盤中更長的波動率，您應該包括具有適當權重的隔夜移動 $ w_i $ . 例如，如果您假設隔夜收益的分佈與 5 分鐘盤中收益的分佈相同（可能是一個非常糟糕的假設），您也可以使用 $ w_i=1/N $ .
其他例子：過夜時間是 $ 24-6.5 = 17.5 $ 小時，或 $ 17.5 * 60 / 5 = 210 $ 週期為 5 分鐘，因此您可以認為隔夜移動包含 210 個 5 分鐘收益。例如 209 個 0 和 1 $ y_i $ . 或 210 次 $ y_i/210 $ . 它顯然會增加你的觀察次數 $ N $ 您包含的每個隔夜退貨費用為 210。
- 最後，如果您對 5 分鐘變異數（即 5 分鐘收益的變異數）不感興趣，您可以對其進行縮放以獲得不同時間範圍的變異數。同樣，這種縮放是在變異數如何隨時間分佈的假設下完成的。如果我們再次假設它在時間上呈線性分佈，則您必須將 5 分鐘變異數按 288 縮放以獲得每日變異數，因為一天中有 288 次 5 分鐘。如果您想從每日差異中獲得年度差異，您可以再次將其乘以 365（或 252，具體取決於您如何計算非工作日……）