調和關於肥尾波動性的兩種說法
我已經閱讀了關於波動性的維基百科文章和 Nassim N. Taleb 的Incerto，發現有兩個聲明歸因於 Mandelbrot 的觀點，它們似乎相互矛盾。
- 塔勒布（Mandelbrot 的導師）寫道，眾多工具的回報標準差是無限的。他還提到，Lévy alpha-stable 分佈是更好的收益描述器，當穩定性參數為 $ \alpha<2 $ .
- 在維基百科頁面上，它說
一些使用 Lévy 穩定性指數 $ α $ 推斷自然過程： $$ \sigma_T = T^{1/\alpha} \sigma. $$ 如果 $ α = 2 $ 維納過程縮放關係得到了，但有人認為 $ α < 2 $ 用於股票、指數等金融活動。這是由 Benoît Mandelbrot 發現的，他查看了棉花價格並發現它們遵循 Lévy alpha 穩定分佈 $ α = 1.7 $ . （見《新科學家》，1997 年 4 月 19 日。）
**我的問題是：**在第 2 項中，如果 $ \alpha<2 $ , 不是說 $ \sigma $ 不存在（根據項目#1）？相反，它們是如何得出不同的縮放指數的？
任何幫助是極大的讚賞。
我不認為“Lévy alpha 穩定分佈是回報的更好描述”的說法被普遍接受。
雖然 Mandelbrot（和他之前的其他人）已經正確地確定了金融時間序列中回報的非正態性，但他當時（1963 年）並沒有真正具備去追求其真實性質的能力。合適的模型出現的時間很晚，比如 ARCH/GARCH (1982)，然後是隨機波動率。
從經驗上看，回報似乎確實有第一和第二時刻，甚至可能更多。例如，R. Cont 在他的評論“資產回報的經驗屬性”中談到了重尾：
回報的（無條件）分佈似乎顯示出冪律或類似帕累託的尾巴，尾指數是有限的，對於所研究的大多數數據集而言，其尾指數高於 2 且低於 5。特別是這排除了具有無限變異數和正態分佈的穩定定律。然而，尾巴的精確形式很難確定。
此外，值得注意的是，雖然無條件回報是非正態的，但按波動率衡量的回報更接近 N(0,1)，這在穩定分佈中不應該發生。參見例如。Andersen、Bollerslev、Diebold、Ebens的“股票收益波動率分佈”（也有類似作者的論文“Exchange Rate Returns Standardized by Realized Volatility are (Nearly) Gaussian”）：
道瓊斯工業平均指數的每日回報… 尾巴比正常情況更肥大，而且對於大多數股票來說，也向右傾斜。然而，相當值得注意的是，……所有 30 個標準化回歸系列……都近似無條件正態分佈。特別是，樣本峰度的中值從原始收益的 5.416 降低到標準化收益的僅 3.129。
有大量關於收益分佈的研究，其中我只引用了兩個，但我認為現在很少有人關注穩定分佈。也許該領域已經從建模收益轉向建模波動性和相關性/copulas。