資產波動率與權益波動率的關係——默頓模型
在默頓信用風險模型方面需要求出交易對手資產的初始值和資產的波動性。這兩個值都不能直接觀察到，因此我們必須通過求解方程組來近似它們，其中之一是
$$ \sigma_E E_0 = N(d_1) \sigma_V V_0 $$ 我找到了這個公式的推導，但我找不到它背後的良好經濟解釋——或者只是它的含義？
你可以這樣讀：
股權價值的典型變化等於資產價值的典型變化，並根據資產倖存的機率進行了調整。
請注意，該公式並非特定於默頓模型，對於正常期權及其底層證券也是如此。只是在“普通”情況下，期權價格的波動通常不是問題。
嗯，默頓模型的主要直覺是公司的股權可以被視為其資產的看漲期權，從而允許應用布萊克-斯科爾斯期權定價方法。讓我們考慮一家擁有資產的公司 $ A_{t} $ 股權融資 $ E_{t} $ 和零息債務 $ B_{t} $ 面值為K，期限為T。在成熟時間T，我們有：
$$ E_{T} = \begin{cases} A_{T} - K & \text{if } A_{T} > K \ 0 & \text{if } A_{T} \leq K \end{cases} $$ 原因是，在到期T時，如果公司在T時的資產大於K ，則債務持有人將獲得全部面值K，留給股東的權益金額為 $ A_{T} - K $ . 然而，如果 $ A_{T} \leq K $ ，那麼公司將拖欠債務。在這種情況下，由於債務持有人對公司剩餘資產擁有優先索取權，因此股東最終一無所有。
然後：
$$ E_{T} = max(A_{T} - K, 0) $$ 這正是看漲期權的回報 $ A_{T} $ 行使價為K，期限為T。因此，可以應用 Black-Scholes 期權定價方法（假設資產價值遵循 GBM）。通過假設股權價值 $ E_{T} $ 也遵循 GBM，通過應用 Ito 引理，您可以證明：
$$ \sigma_E E_t = \frac{\partial E_t}{\partial A_t} \sigma_A A_t $$ 通過代入 BS 看漲期權 delta，我們得到：
$$ \sigma_E E_t = N(d_1) \sigma_A A_t $$ 在您自己的符號中，在時間t = 0，您設置 $ A_0 = V_0 $ ， 然後：
$$ \sigma_E E_0 = N(d_1) \sigma_V V_0 $$