時間衰減與伽馬的關係
在 Emanuel Derman、Michael Kamal、Iraj Kani、John McClure、Cyrus Pirasteh 和 Joseph Z. Zou 於 1998 年發表的一篇題為《投資波動性》的論文中，我發現了以下我試圖澄清的斷言（第 9 頁） ：數量 $ (1/2)\Gamma(\Delta S)^2 $ 是指數瞬時波動的收益。期權估值的關鍵原則是，使用期權不能得到免費的午餐。因此，如果指數實際上以與隱含波動率相同的已實現波動率波動 $ \Sigma $ 在購買期權時，指數小幅波動的收益必須抵消由於時間流逝而導致的期權價值損失。圖 4c 顯示了由於“時間衰減”造成的這種損失；瞬間的量級 $ \Delta t $ 是（誰）給的 $ (1/2)\Gamma(\Sigma^2S^2\Delta t) $ .
編輯：前面提到的收益是 delta 對沖期權的收益。
時間衰減（或θ）和伽馬（如上所述）之間是否存在可以以無模型方式證明（最好盡可能嚴格）的精確（或近似關係） ？
我見過一些基於二叉樹的啟發式論證，但它們看起來不太令人信服。我正在尋找更一般的東西，例如使用隨機微積分的連續時間論證。
編輯：我有興趣為上面引用的斷言找到一個數學上嚴格的推導。實際上，只要我了解它的局限性，即使是一個很好的近似值也是可以的。
編輯：非常歡迎任何參考。
鑑於 Soumirai 以下的回答，我想將問題重新表述如下： 知道 $ \Theta = \frac{1}{2}\sigma^2S^2 \Gamma $ 在沒有利率和股息的 BS 模型中成立，是否有類似的公式適用於更一般的隨機波動率模型（甚至是無模型的）？
theta 和 gamma 之間的關係是 Black-Scholes PDE。
讓我們以正常的 BS 動態為例 $ r=0 $ : $ dS_t = \sigma S_t dW_t $
衍生品的定價 PDE $ g(S_T) $ 是（有終端條件 $ g $ ):
$ \frac{dp}{dt} = \frac{1}{2}\sigma^2S^2 \frac{d^2p}{dS^2} $
或者
$ \Theta = \frac{1}{2}\sigma^2S^2 \Gamma $
這個 PDE 有一個解（Feynman-Kac Theorem）： $ p(t,S_t) = \mathbb{E}(g(S_T)) $ ，即衍生品價格。PDE 告訴我們的是導數的值隨時間變化（ $ \frac{dp}{dt} $ )，其速率與 $ \Gamma $ 次一些東西（變異數）。
有許多來源以不同的方式推導出 BS PDE，並給出了解釋。例如：https ://www.frouah.com/finance%20notes/Black%20Scholes%20PDE.pdf
編輯：對於通用版本，請參閱https://en.wikipedia.org/wiki/Feynman%E2%80%93Kac_formula