波動率
SABR ATM 波動性
在校準模型時，ATM 隱含波動率在 SABR 中很重要。讓我們考慮一下 ATM vol（對於歐洲看漲期權）：
$$ \sigma = \frac{\alpha}{f^{1-\beta}} \left[ 1+ \left(\frac{(1-\beta)^2}{24}\frac{\alpha^2}{f^{2-2\beta}}+\frac{1}{4}\frac{\rho \beta v}{f^{1-\beta}}+\frac{1}{24} (2-3\rho^2)v^2 \right)T \right] $$ 在哪裡 $ v $ 休息是顯而易見的，並且在 Hagans 的原始論文中使用了相同的符號。 然而，文獻中經常提到這種波動性可以通過第一項來估計：
$$ \sigma \approx \frac{\alpha}{f^{1-\beta}} $$ 一項如何證明/表明該主張？
簡而言之，這種說法並非在所有情況下都成立。
有幾種方法可以打破這種近似。
- 正在考慮的期權有很長的到期日，即 $ T $ 很大
- 隨著到期日的臨近，波動微笑變得更加明顯，即 $ v $ 變得比較大。
- 在極端市場條件下， $ \rho $ 和 $ v $ 變得顯著導致非平凡的擴展項。
然而，在大多數情況下，擴展項遠小於 1，因此我認為這種近似在大多數情況下是合法的。
正如@XiaotianDeng 提到的，你提到的簡單的平價近似值並不總是成立：它只有在你假設的情況下才有效 $ \alpha^2 T, \nu^2 T $ 很小，通常 $ o(1) $ . 我想補充一點，實際上不需要這樣的近似值，除非可能在你的頭腦中進行計算，或者理解 $ \alpha $ 反對 $ \sigma_{atm} $ .
根據您的第一個方程，平價波動率是三次方程的解，這可以通過卡爾達諾公式精確求解。
最後一點，這實際上是實際使用的 SABR Hagan 擴展 ATM 波動率。實際的理論 SABR 模型 ATM 交易量可能在交易量大或/和期限長的情況下有所不同。