Bergomi 中關於粘性罷工和粘性三角洲的 SSR 定義
位於貝爾戈米
$$ Stochastic Vol Modelling $$（第 2.5.2 節），在關於表面動力學的部分中，對“傾斜粘性比”（SSR）進行了以下定義： $$ SSR = \dfrac{1}{\mathcal{S}T}\frac{d\hat{\sigma}{F_TT}}{d\log(S_0)} $$ 在哪裡 $ \mathcal{S}T=\frac{d\hat{\sigma}{KT}}{d\log{K}}\Bigr\rvert_{K=F_T} $ .
結合這些方程，我們得到，
$$ SSR = \dfrac{1}{\frac{d\hat{\sigma}{KT}}{d\log{K}}\Bigr\rvert{K=F_T}}\frac{d\hat{\sigma}_{F_TT}}{d\log(S_0)} $$ 然後貝爾戈米說 $ SSR=1 => $ 粘性罷工和 $ SSR=0 => $ 粘性三角洲。
我想用數學方法證明這些陳述，但我遇到了麻煩。
如果 $ SSR=1 $ ，那麼我們有：
$$ \frac{d\hat{\sigma}{KT}}{d\log{K}}\Bigr\rvert{K=F_T}= \frac{d\hat{\sigma}{F_TT}}{d\log(S_0)} $$ 那麼這個語句如何等同於粘彈呢？換句話說，這個陳述如何等同於 $ \hat{\sigma}{KT}(t,S_t)=\hat{\sigma}{KT}(t+\epsilon, S{t+\epsilon}) $ ?
如果 $ SSR=0 $ ，那麼我們有：
$$ \frac{d\hat{\sigma}{F_TT}}{d\log(S_0)}=0 $$ 那麼這個語句如何等同於粘性增量？換句話說，這個陳述如何等同於 $ \hat{\sigma}{xT}(t,S_t)=\hat{\sigma}{xT}(t+\epsilon, S{t+\epsilon}) $ ， 在哪裡 $ x=\log{\dfrac{S}{F_T}} $ ?
Bergomi 對這些對我來說沒有多大意義的陳述給出了直覺的解釋。我想我正在尋找一個正式的證據來緩解我的想法。
一些符號
很容易迷路，所以讓我們介紹一些符號並讓
$$ \sigma : (t, S, K, \tau) \to \sigma(K,\tau; S, t) $$ 表示當時盛行的隱含波動率微笑 $ t $ 當現貨價格為 $ S_t=S $ 對於具有行使價的期權 $ K $ 和到期時間 $ \tau=T-t $ . 從這裡開始，我們放棄 $ t $ 保持符號整潔的論點（一切都發生在固定 $ t $ ). 回到書中使用的符號，ATMF vol 表示目前 ( $ t=0 $ ) 的現貨價值 $ S_0 $ 然後可以重寫為
$$ \hat{\sigma}_{F_T T}(S_0) := \sigma(f(S_0),T; S_0) $$ 遠期價格驗證的地方 $$ F_T := f(S_0) = S_0 \exp((r-q-u)T) $$ 使用這些符號，SSR 定義中涉及的第二項可以很容易地評估為
$$ \frac{ d \hat{\sigma}{F_T T}(S_0) }{d S_0} = \lim{\epsilon \to 0} \frac{\color{blue}{\sigma(f(S_0+\epsilon),T; S_0+\epsilon)}- \color{green}{\sigma(f(S_0),T ; S_0)} }{ \epsilon } $$ 粘性假設允許我們在點移動後關聯微笑 $ \color{blue}{\sigma(\cdot,T;S_0+\epsilon)} $ 原來的笑容 $ \color{green}{\sigma(\cdot,T;S_0)} $ . 尤其是
粘性罷工規則
對所有人 $ K>0 $ 根據定義，我們需要
$$ \color{blue}{\sigma(K,T;S_0+\epsilon)} = \color{green}{\sigma(K,T;S_0)} $$ 這樣我們就可以連續寫 $$ \begin{align} \frac{ d \hat{\sigma}{F_T T}(S_0) }{d S_0} &= \lim{\epsilon \to 0} \frac{\color{blue}{\sigma(f(S_0+\epsilon),T; S_0+\epsilon)} - \color{green}{\sigma(f(S_0),T ; S_0)} }{ \epsilon } \ &= \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\color{green}{\sigma(f(S_0+\epsilon),T; S_0)} - \color{green}{\sigma(f(S_0),T ; S_0)} }{ \epsilon } \ &= \frac{\partial \sigma(K,T;S_0)}{\partial K}(f(S_0)) f’(S_0) \end{align} $$ 由於從定義 $ f(.) $ 我們有 $$ f’(S_0) = f(S_0)/S_0 $$那麼確實 $$ \frac{ d \hat{\sigma}_{F_T T}(S_0) }{d \ln(S_0)} = \frac{\partial \sigma(K,T;S_0)}{\partial \ln(K) }(f(S_0)) = \mathcal{S}_T $$ 粘性貨幣規則
根據定義
$$ \sigma(K^,T;S_0+\epsilon) = \sigma(K,T;S_0) $$ 當且僅當 $ K^/(S_0+\epsilon) = K/S_0 $ . 因此，對於所有 $ K > 0 $
$$ \color{blue}{\sigma(K,T,S_0+\epsilon)} = \color{green}{\sigma(K S_0/(S_0+\epsilon), T; S_0)} $$ 現在應用它會導致
$$ \begin{align} \frac{ d \hat{\sigma}{F_T T}(S_0) }{d S_0} &= \lim{\epsilon \to 0} \frac{\color{blue}{\sigma(f(S_0+\epsilon),T; S_0+\epsilon)} - \color{green}{\sigma(f(S_0),T ; S_0)}}{ \epsilon } \ &= \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\color{green}{\sigma(f(S_0+\epsilon) S_0/(S_0+\epsilon),T; S_0)} - \color{green}{\sigma(f(S_0),T ; S_0)} }{ \epsilon } \ &= \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\color{green}{\sigma(f(S_0),T; S_0)} - \color{green}{\sigma(f(S_0),T ; S_0)} }{ \epsilon } = 0 \end{align} $$