衡量波動率表面與市場的匹配程度的統計指標
假設我有一個隱含波動率表面模型，並想根據歷史報價計算出所需的重新校準頻率。由於我在很長一段時間內有大量的罷工和期限，我需要以某種方式自動化這個過程，即我需要一個可計算的指標，而不是“啊，它似乎非常接近市場”。
什麼樣的統計指標最有意義？我正在考慮市場報價和模型報價之間百分比差異的平均值，即$$ 100\cdot\frac{\sigma^{market}-\sigma^{model}}{\sigma^{market}} $$在整個波動率表面上，但是整個表面的平均值可能會產生很大的誤導，因為它不會在足夠大的表面上捕捉到大的單個異常值，並且會抵消具有相似幅度但符號相反的差異。儘管如此，我看不到一個更好的單一指標來評估整體表面貼合度。
整個表面的平均百分比差異對評估合身質量有多大意義？有更好的指標嗎？任何幫助將不勝感激。
UPD：在所有期限和罷工中選擇差異的平方和是否更有意義$$ \sum_{K,T}(\sigma^{market}-\sigma^{model})^2 $$作為一個指標？
我懷疑你想使用加權規範：https ://math.stackexchange.com/questions/394237/understanding-weighted-inner-product-and-weighted-norms
通常，您的波動率表面（或波動率立方體，如果您包括偏斜），可以被視為所有可能的波動率表面參數集的一個元素。該元素的每個單獨的波動率或參數將代表一個測量維度。
您正在尋找一些表示集合中兩個這樣的元素之間的距離的函式。
這裡有兩個建議：
- l2範數，即向量內積的常用sqrt
- 指示函式，如果尺寸差異大於某個公差，則將其設置為 1，並在所有尺寸上求和，例如：
如果公差為 1，則元素 (1,2,3) 和 (1,9,9) 的距離為 2 (0+1+1)，如果公差為 0 (0+0+0)，則元素的距離為是 10。
現在這些距離測量中哪一個更好？我將不得不使用 l2 範數，因為它創建並滿足了度量空間的公理，而第二個則沒有。它不滿足三角形不等式公理，即對於兩個元素 A 和 B，它們之間的距離小於或等於 A 和 C 以及 C 和 B 之間的距離之和。現在，實際上，為什麼這很重要？
如果您正在編寫一些算法，當兩個元素之間的距離相差一個設定值時會重新校準，那麼第二個距離函式可能會在幾天內產生不同的結果。
假設您將容差設置為 2，並在距離大於 1 時重新校準觸發器，則：
在第 0 天，您的表面是：(1,2,3) 並移動到 (2,3,4)，其指標距離為 0，因此沒有觸發。在第 1 天，您的表面是：(2,3,4) 並移動到 (3.5, 4.5, 5.5)，其指示距離為 0，因此沒有觸發。兩天的距離總和為0，不產生觸發。
但是，如果相反： (1,2,3) 在第一天移動到 (3.5, 4.5, 5.5)，則指標距離將為 +3 並會觸發重新校準。
這裡的這種不一致是由於三角不等式公理以及您不在度量空間內操作的事實。