隨機波動率模型——它們是完整的市場嗎？

我正在閱讀關於隨機波動率模型的文章——這些模型是在 Wiggins 在 1986/7 年提出之後產生的 $ \sigma $ 在 Black-Scholes 中應該是一個隨機過程而不是一個常數。

特別是，我正在查看 3 個模型：

• 赫爾和懷特
• 斯坦因和斯坦因
• 赫斯頓

這本書說，在介紹了最後一個（赫斯頓）之後，這是一個不完整的市場，因為該模型有 2 個布朗運動，但我們只有一個風險資產可以複製。我不明白的是，這個關於市場完整性的陳述是否只與最後一個模型或所有 3 個模型有關。對我來說，它們似乎都是不完整的市場。

通常，您的模型中的每個風險源都需要一種可交易資產，這種資產在某種程度上依賴於該雜訊。因此，在您可以交易一隻股票但有兩個變異數來源的世界中​​，您的模型將是不完整的，因為無法確定波動風險的市場價格。但是，如果其他一些資​​產是可交易的（比如一些參考期權），它將完成模型並讓您校準風險的市場價格。

任何隨機波動率模型都是不完整的。

無套利資產價格滿足 SDE $ dS_t = r(t, S_t) dt + \sigma(t, S_t) dW_t $ ， 在哪裡 $ r(t, S_t) $ 和 $ \sigma(t, S_t) $ 可以是隨機的。資產定價第二基本定理指出，當且僅當相關的等價鞅測度不唯一時，模型才是不完整的。在隨機波動率模型中，我們可以改變波動率過程的規律 $ \sigma_t $ （這改變了法律 $ S_t $ ) 不影響貼現資產價格的抗擾性 $ \exp\left(-\int _0 ^t r_s ds\right) S_t $ . 這產生了另一個鞅測度，因此產生了不完備性。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/54633