股票收益分佈

我知道股票的回報不是正態分佈的。但是，有什麼方法可以重新調整股票的回報率，使它們看起來更像正態分佈？

我設法找到一篇討論這個問題的論文：LCG Rogers: Sense, nonsense and the S&P500 , Decisions in Economics and Finance (2018) 41:447–461

https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/s10203-018-0230-3.pdf

作者重新調整了 SP500 回報如下：

如您所見，他設法將極端時期（例如 1987 年黑色星期一）的回報按比例縮放，使其看起來更像正態分佈。

我嘗試使用 Python 複製此方法，使用與論文中相同的參數，K = 4，Beta 為 0.025。N 未指定，但我選擇 N 為 100。

SP500['returns'] = np.log(SP500['Adj Close']/SP500['Adj Close'].shift(1))
SP500['returns_sq'] = np.square(SP500['returns'])
SP500.loc[:, 'vol'] = 0
SP500.loc[:,'Vol_rescaled_returns'] = 0
K = 4
Beta = 0.025
SP500.loc[101,'vol'] = np.sqrt(SP500.loc[1:101,'returns_sq'].mean())  

for i in range(101,len(SP500)-1):
 Y = max(-K*SP500.loc[i,'vol'],min(K*SP500.loc[i,'vol'],SP500.loc[i,'returns']))
 SP500.loc[i+1,'vol'] = np.sqrt(Beta*(Y**2) + (1-Beta)*(SP500.loc[i,'vol']**2))
 SP500.loc[i+1,'Vol_rescaled_returns'] = SP500.loc[i+1,'returns'] / SP500.loc[i+1,'vol']

但是，我的結果與論文不同，如下圖所示，黑色星期一的負回報在 -16 左右，而在論文中是 -6。我上面的程式碼有什麼問題嗎？我檢查了幾次，但看起來很簡單，還是這種方法有問題？非常感謝！

標準化的對數回報大致呈正態分佈， $ \frac{r_t}{\sqrt{\text{RV}_t}}\sim N(0,1) $ .

正如@noob2 所說，異變異數性是（對數）回報不是正態分佈的一個重要原因。如果你糾正這個事實（除以實際變異數的平方根，平方收益的總和），那麼收益看起來非常接近正常。如果您不想使用高頻數據，您甚至可以使用簡單的 GARCH 模型來代替實際變異數。

要查看一些經驗證據，請查看以下兩篇論文：

• Andersen、Bollerslev、Diebold 和 Ebens (2001, JFE)，他們研究道瓊斯和
• 研究外匯匯率的Andersen、Bollerslev、Diebold 和 Labys (2001, JASA) 。

來自 JFE 論文：你看到了 $ r_t $ 有肥尾（峰度約為 5）。通過實現變異數縮放後， $ r_t/v_t $ ，峰度更接近正態分佈的三個。您可以從下圖中看到與正態分佈的相似之處。

有幾種分佈可以概括具有偏度和峰度的正態分佈，其中一些分佈可以比正態分佈更好地模擬股票收益。

例如，Johnson 的 SU 分佈是一個很好的候選者。參見Choi 等人的 QQ 圖（圖 4）。（2019）。基本上，SU 分佈是正態變數的正態變換。因此，股票收益的反正弦變換（或rescale如您所說）非常接近正態分佈。

參考：

• Choi, J.、Liu, C. 和 Seo, BK (2019)。雙曲線正態隨機波動率模型。期貨市場雜誌，39（2），186–204。https://doi.org/10.1002/fut.21967

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/69185