標的資產波動率、槓桿與衍生品波動率的關係
如果我想降低投資組合的風險，那麼微不足道的事情就是從較高的波動性變為較低的波動性以獲得更好的夏普比率。它已經列出了股票的波動率，但沒有列出期權類型“牛證”的波動率。我不希望它像槓桿乘以基礎資產波動性那麼簡單。但是考慮到標的資產的波動性和槓桿，那麼我應該能夠找到衍生品的槓桿（“牛證”）。
例如 5 倍槓桿看漲有一個證書 https://www.morganstanley.com/ied/etp-server/webapp/svc/document/finalTermsheetVersion?isin=GB00BG5W8D15&version=1
但是，僅僅因為槓桿是 5 倍，衍生品的波動率就是標的資產波動率的 5 倍，這可能過於簡單化了。
標的股票的波動率今天在不同的資訊源中列出，這個數字也不同，可能是因為不同的衡量標準使用了不同的時間視窗。
在這種情況下，是否有一個公式可以使用，假設我得到了標的資產的波動性並給出了該資產類別中衍生品的槓桿率？
關鍵變數確實是衍生品的彈性 $ \Omega $ （又名槓桿，Lambda）。它定義為$$ \Omega=\frac{\frac{\partial V}{V}}{\frac{\partial S}{S}}=\frac{\partial V}{\partial S}\frac{S}{V}=\Delta\frac{S}{V}. $$
這裡， $ V $ 對應於導數的值和 $ S $ 到它的底層。
這個數字衡量了衍生品與其底層證券相比的風險程度。直覺地說，如果基礎資產的價格變化 1%（其他條件不變），它會以百分比的形式告訴您衍生品價格的變化幅度。
重要的是，波動性和市場貝塔（在 CAPM 意義上）在彈性上是線性的。那是， $ \sigma_V=|\Omega|\cdot\sigma_S $ 和 $ \beta_V=\Omega\cdot \beta_S $ . 您需要絕對值來確保波動性為正（例如，看跌期權具有負彈性）。例如，這些方程是在 Cox 和 Rubinstein (1985) 中推導出來的。
例如，看漲期權的彈性大於 1（在 Black Scholes 世界中很容易看到： $ C=S\Delta-Ke^{-rT}N(d_2)\leq S\Delta\implies1\leq\frac{S\Delta}{C}=\Omega_C $ ）。因此，看漲期權比標的資產風險更大。另一方面，看跌期權（作為保險）具有負彈性，因此系統風險低於其標的。