局部波動率模型的轉換

假設我們有一個 SDE $$ dX_t=\mu(X_t)dt + \sigma(X_t)dW_t $$ 在哪裡 $ \sigma>0 $ 和 $ W_t $ 是維納過程。有沒有變態 $ y(X_t) $ 這將使轉換過程的動態 $ Y_t=y(X_t) $ 有恆定的波動？

是的，它被稱為 Lamperti 變換。本文件，特別是第 7 頁的定理 2，描述了 Lamperti 變換是什麼。

考慮一個函式 $ f(X_t) $ . 伊藤引理給出：

$$ df(X_t)=\text{time terms}+f’(X_t)\sigma(X_t)dW_t $$

現在任何 $ f $ 滿足：

$$ f’(X_t)\sigma(X_t)=\text{constant} $$

給出一個恆定的波動率 $ f(X_t) $ . 求解 $ f $ 需要指定 $ \sigma(X_t) $ . 例如，正如 Kermittfrog 在評論中指出的那樣，當 $ \sigma(X_t)=\sigma X_t $ , 你可以設置 $ f(X_t)=\log(X_t) $ .

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/70350