使用半正態估計預期損失
假設股票收益遵循正態分佈，均值為 0%，波動率為 50%。如果我想計算預期損失（即只有負回報的預期值），使用半正態分佈的平均值來近似該值是否有意義？
半正態的平均值是 sigma x sqrt( 2 / pi)。這是否意味著預期損失應該是-50% x 0.8 = -40%？
您正在尋找的分佈 $ X $ 有條件的 $ X<0 $ , 特別是對於條件期望
$$ E[X|X<0]. $$
為了 $ X $ 正常與平均值 $ 0 $ 和變異數 $ \sigma^2 $ ，結果等於
$$ E[X1_{X<0}]/P(X<0) = 2\sigma\int_{-\infty}^0 x \phi(x) dx $$ $$ =2 \sigma \int_{-\infty}^0 -\phi’(x) dx = -\sigma\sqrt{2/\pi} $$
請注意，當平均值為 $ 0 $ , 半正態分佈和單邊截斷正態分佈重合。特別是，我們有：
$$ |X|= X1_{X>0}-X1_{X<0}, $$
導致
$$ E[|X|]= \sigma/\sqrt{2\pi} + \sigma/\sqrt{2\pi} = \sigma\sqrt{2/\pi}. $$
您正在尋找 CTE 或 TVaR 值。查看 Wikipedia 或相關的公式參考。
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Tail_value_at_risk
http://uryasev.ams.stonybrook.edu/wp-content/uploads/2019/10/Norton2019_CVaR_bPOE.pdf
不過，作為記錄，如果您使用正態分佈，您可能低估了您的風險。您應該嘗試使用自由度約為 4 的 Student T。這更符合經驗觀察。請參閱下面的論文簡介：
https://www.uts.edu.au/sites/default/files/qfr-archive-02/QFR-rp194.pdf