波動性套利——利潤是如何提取的？
是否有任何論文詳細描述瞭如何在定向波動率賭注（vol arb）中提取利潤？我的意思是，如果我打賭已實現的波動率將低於目前的隱含波動率，我會做空看漲期權並做多底層證券以獲得 delta 對沖。那麼現在，我如何真正從已實現的波動中獲利？如果下一個期間的實際波動率較低，那麼我的賭注是正確的，但隱含波動率在整個期間保持不變怎麼辦？如果在這種情況下我平倉，利潤不就是0嗎？
出於某種原因，我很難解決這個問題，但另一方面，我可以看到像空頭跨式這樣的純期權策略是如何工作的……
撇開，這不是純粹的無風險套利，而是統計套利：
您可以通過執行連續的 delta 對沖來提取利潤。如果您不斷調整對沖頭寸，您會通過 delta 對沖獲利/虧損。
作為多頭期權（伽馬多頭），您以較高的價格賣出並以較低的價格買入。隨著時間的推移，您會實現利潤。如果期權最終以貨幣形式結束，您的對沖仍將是一個未平倉頭寸，但它將被期權行使完全覆蓋。
空頭頭寸，否則，你買高賣低。
最後，您希望您的套期保值損失/獲得的錢少於/多於您賣出/買入的期權。
在實踐中，您每天都會觀察您的投資組合及其希臘語，並可以看到您是贏還是輸。假設您在每天結束時調整 delta 對沖。我將市場走勢表示為 $ \delta S $ . 一天結束時您的期權價值可以近似為：
$$ O(t+1,S+\delta S) \approx O(t,S) + \Delta,\delta S + \frac{1}{2} \gamma (\delta S)^2 + \theta $$ 因此，如果您在一天開始時的對沖交易量恰好是 $ -\Delta $ ， 這 $ \Delta \delta S $ 值的變化得到補償，你剩下
$$ P(t+1,S+\delta S) \approx P(t,S) + \frac{1}{2} \gamma (\delta S)^2 + \theta $$ （現在 $ P $ 代表期權+套期保值的整個投資組合的價值）
這 $ \theta $ 術語是完全確定的。在做多/做空期權的同時，保證您每天都會損失/獲得一些價值。術語與 $ \gamma $ 取決於你的運氣。請注意，該 $ (\delta S)^2 $ 術語總是積極的。所以整個術語與伽瑪具有相同的符號。
因此，如果您的 gamma 為正（而您的 theta 為負），那麼您每天都在失去 theta 項，並根據市場走勢獲得 gamma 項。如果市場走勢的平均水平普遍較高，則隨著時間的推移，伽馬項的收益將超過 theta 項的損失。但是你可以在那裡看到運氣因素。實際波動率和隱含波動率之間的差異越大，需要的運氣就越少。
如果期權定價合理，則 gamma 項平均等於 theta 項：
$$ \rm{E}\biggl(\frac{1}{2} \gamma (\delta S)^2\biggr) = -\theta $$