Black Scholes 公式的波動率輸入
我不是數學家，但想嘗試了解期權定價的 BS 模型。我得到了直覺的感覺，但無法計算出波動率的計算（作為輸入）。一些線上資源表明採用標的資產的時間序列對數回報併計算平均值和 SD 並使用它。但是，如果我的選項有並且到期 $ T+1 $ 和 $ T+2 $ 幾個月，我很確定我不能使用相同的波動率輸入。那麼是否有經驗法則/論文表明不同期限（以及相同行使價）的期權需要多少歷史數據點？請告訴我。欣賞它！
我在這方面看到的最好的權威是 Natenberg: Option Volatility and Pricing。我不能比檢查我的副本更好。他說：“請注意，計算歷史波動率有多種方法，但大多數方法取決於選擇兩個參數，即計算波動率的歷史時期，以及連續價格變化之間的時間間隔。
歷史時期可以是十天、六個月、五年或交易者選擇的任何時期。較長時期往往會產生平均或特徵波動率，而較短時期可能會顯示出不尋常的極端波動率。為了完全熟悉合約的波動性特徵，交易者可能必須檢查各種各樣的歷史時間段。
接下來，交易者必須決定在價格變化之間使用什麼間隔。他應該使用每日價格變化嗎？每週變化？每月變化？或者也許他應該考慮一些不尋常的間隔，也許每隔一天，或者每一個半星期。令人驚訝的是，選擇的間隔似乎對結果沒有太大影響。儘管合約可能會出現較大的每日波動，但在一周內沒有變化，但這是迄今為止的例外。每天都在波動的合約可能會每週或每月都在波動。”
因此，在實踐中發生的事情是對不同時間段內的一系列波動率進行加權，因為波動率表現出序列相關性。套用這本書：
例如，假設我們有某個基礎工具的以下歷史波動率數據：
- 過去 30 天：24%
- 過去 60 天：20%
- 過去 120 天：18%
- 過去 250 天：18%
當然，我們希望獲得盡可能多的波動率數據。但如果這是唯一可用的數據，我們如何使用它來進行預測？一種方法可能是採用我們所擁有的時期內的平均波動率：
- (24% + 20% + 18% + 18%) / 4 = 20.0%
但是，由於過去 30 天的 24% 比其他數據更目前，也許它應該在預測中發揮更大的作用
- (40% * 24%) + (20% * 20%) + (20% * 18%) + (20% * 18%) = 20.8%
此外，過去 60 天的波動應該比過去 120 天的波動更重要，最後 120 天的波動比過去 250 更重要，依此類推。所以我們可以在使用回歸加權時考慮到這一點。例如
- (40% * 24%) + (30% * 20%) + (20% * 18%) + (10% * 18%) = 21.0%
使用序列相關性，如果合約在過去 4 週的波動率為 15%，那麼未來 4 週的波動率更可能接近 15%，而不是相差甚遠。一旦我們意識到這一點，我們就會對過去的不同波動時間段賦予不同的權重。這導致理論家們進入了 ARCH 和 GARCH 模型。書繼續說：
一旦我們有了歷史波動率，您就可以對已經計入市場的隱含波動率採取另一種措施。您可以將隱含波動率加權在 25% 到 75% 之間。例如，假設交易者根據歷史數據做出目前波動率預測為 20%，而隱含波動率目前為 24%。如果交易者決定賦予隱含波動率 75% 的權重，他的最終預測將是：
- (75% * 24%) + (25% * 20%) = 23%
一種實用的方法
無論交易者的方法多麼艱苦，他都可能發現他的波動率預測往往是不正確的，有時甚至在很大程度上是錯誤的。鑑於這種困難，許多交易者發現採用更通用的方法更容易。與其問正確的波動性是什麼，交易者可能會問，鑑於目前的波動性環境，正確的策略是什麼？交易者不會試圖預測確切的波動性，而是會嘗試選擇最適合市場波動性條件的策略。為此，交易者需要考慮幾個因素：
- 標的合約的長期平均波動率是多少？
- 與平均波動率相比，最近的歷史波動率是多少？
- 近期歷史波動趨勢如何？
- 隱含波動率在哪裡，它的趨勢是什麼？
- 我們是在處理更長或更短期限的期權嗎？
- 波動性趨於穩定嗎？