資產函式的波動性
假設 $ G $ 是基礎資產的函式 $ S $ ，它遵循幾何布朗運動。假設 $ \sigma_{S} $ 和 $ \sigma_{G} $ 是波動率 $ S $ 和 $ G $ ， 分別。證明如果 $ \mu $ , 回報率 $ S $ , 增加一個常數 $ \lambda $ , 那麼收益率 $ G $ 增加 $ \lambda \frac{\sigma_{G}}{\sigma_{S}} $ .
這是我的回答：
自從 $ S $ 遵循幾何布朗運動：
$$ dS_{t}=\mu_{S} S_{t}dt + \sigma_{S} S_{t}dW_{t} $$
使用 Ito 的功能 $ G(s) $ 我們得到：
$$ dG(S_{t})=G^{’}(S_{t})dS_{t} + \frac{1}{2}G^{’’}(S_{t})S_{t}^{2}\sigma^{2}_{S}dt $$
$$ =G^{’}(S_{t})(\sigma_{S} S_{t}dW_{t} + \mu_{S} S_{t}dt) - \frac{1}{2}G^{’’}(S_{t})S_{t}^{2}\sigma_{S}^{2}dt $$
$$ =G^{’}(S_{t})\sigma_{S} S_{t}dW_{t} + (\mu_{S} S_{t}G^{’}(S_{t}) - \frac{1}{2}G^{’’}(S_{t})S_{t}^{2}\sigma_{S}^{2})dt $$
什麼時候 $ \mu_{S} $ 增加一個常數 $ \lambda $
$$ (\mu_{S}+\lambda) S_{t}G^{’}(S_{t}) - \frac{1}{2}G^{’’}(S_{t})S_{t}^{2}\sigma_{S}^{2}=\mu_{S} S_{t}G^{’}(S_{t}) + \lambda S_{t}G^{’}(S_{t}) - \frac{1}{2}G^{’’}(S_{t})S_{t}^{2}\sigma_{S}^{2} $$
\右箭頭 $ \mu_{G} $ 增加 $ \lambda S_{t}G^{’}(S_{t})=\lambda \frac{\sigma_{G}}{\sigma_{S}} $
這個可以嗎？
你寫的東西看起來很容易理解。缺少的是定義 $ \sigma_G \equiv \sigma_G(S_t,t) $ ， IE
讓 $ \sigma_G\equiv \sigma_S S \frac{\partial G(S_t,t)}{\partial S_t} $