長期平均變異數率的重要意義是什麼？為什麼 Engle 因 ARCH 模型開發而獲得諾貝爾獎？
在 ARCH(m) 模型中，我們有
$$ \sigma_n^2=\sum_{i=1}^{m} \alpha_i u_{n-i}^2 $$ 在哪裡 $ u_i $ 被定義為白天連續複利 $ i $ （一天結束之間 $ i-1 $ 和一天的結束 $ i $ ), $ \sigma_n^2 $ 是變異數率和 $ \alpha_i $ 是給予觀察的權重 $ i $ 幾天前。 擴展是假設存在長期平均變異數率 $ V_L $ 並且應該給予一定的重視 $ \gamma $ . 這導致採用以下形式的模型
$$ \sigma_n^2=\gamma V_L+\sum_{i=1}^{m} \alpha_i u_{n-i}^2. $$ 這個擴展的重要意義是什麼？
恩格爾為何因開發這種“簡單”模型而獲得諾貝爾獎？
諾貝爾獎委員會自己在“2003 年經濟科學獎 - 高級資訊”文件中給出了對您問題的最佳答案。你應該完整地閱讀它。下面是一段摘錄。
根據委員會：
金融經濟學家早就知道收益波動趨於聚集，並且許多資產收益的邊際分佈是尖峰的，這意味著它們的尾部比具有相同均值和變異數的正態分佈的密度更厚。儘管許多研究人員都知道收益的時間分群，但收益仍然被建模為獨立且隨時間同分佈。例子包括 Mandelbrot (1963) 和 Mandelbrot 和 Taylor (1967)，他們使用所謂的穩定帕累托分佈來表徵收益分佈。因此，羅伯特·恩格爾通過自回歸條件異變異數 (ARCH) 對隨時間變化的波動率建模意味著一個真正的突破。
假設當時 $ t $ 我們觀察隨機向量 $ (u_t, \mathbb{x}_t^{’}) $ 在哪裡 $ u_t $ 是一個標量並且 $ \mathbb{x}_t $ 可能包含一些滯後 $ u_t $ . 變數的預測模型 $ u_t $ 是
$$ u_t = \mathbb{E}(u_t | \mathbb{x}_t) + \epsilon_t \tag{3.1} \label{one} $$ 通常假設 $ \mathbb{E}(u_t | \mathbb{x}_t) $ 有一個參數形式和 $ \mathbb{E}\epsilon_t = 0 $ , $ \mathbb{E}\epsilon_t \epsilon_s = 0, \forall t \not = s $
在估計參數時 $ \mathbb{E}(u_t | \mathbb{x}_t) $ ，通常假設誤差項的無條件變異數 $ \epsilon_t $ 是恆定的或以未知方式隨時間變化的。Engle 考慮了另一種假設，即無條件誤差變異數（如果存在）是恆定的，而條件誤差變異數是隨時間變化的。
這一革命性的概念使解釋隨時間變化的變異數運動的系統特徵成為可能，並且更重要的是，可以將條件變異數的參數與條件均值的參數一起估計。文獻中完全沒有具有類似想法的早期工作。
恩格爾參數化的條件變異數 $ \epsilon_t $ 在模型中 $ \eqref{one} $ 這樣大的正或負誤差 $ \epsilon_t $ 很可能緊隨其後的是任一符號的另一個大錯誤，而小錯誤之後可能是任一符號的小錯誤。現在這通常被稱為波動性分群。他認為 $ \epsilon_t $ 可以分解為 $ \epsilon_t = z_t \sigma_t^{\frac{1}{2}} $ 在哪裡 $ {z_t} $ 是具有零均值和單位變異數的獨立同分佈隨機變數序列，其中
$$ \sigma_t = \operatorname{Var}(\epsilon_t | \mathcal{F}t) = \alpha_0 + \sum{j=1}^m \alpha_j \epsilon_{t-j}^{2} \tag{3.2}\label{two} $$ 在 $ \eqref{two} $ $ \epsilon_t = u_t - \mathbb{E}(u_t | \mathbb{x}_t) $ , $ \alpha_0 > 0 $ 和 $ \alpha_j \geq 0, j = 1, \cdots m $ , 資訊集 $ \mathcal{F}t = \sigma({\epsilon{t - j}, j \geq 1}) $
方程 $ \eqref{two} $ 定義在“英國通貨膨脹變異數估計的自回歸條件異變異數”中引入的 ARCH 模型，其中條件變異數是過去平方誤差值的函式。
在這篇經典論文中，Engle 發展了 ARCH 模型的估計理論，給出了最大概似估計量一致且漸近正態的條件，並為在錯誤 $ \epsilon_t $ .
$ V_L $ 是長期變異數（或無條件變異數）當且僅當 $ \gamma=1-\sum_{i=1}^n \alpha_i $ , 因為長期變異數與模型兼容
$$ \sigma_n^2 = \gamma V_L + \sum_{i=1}^n \alpha_i u_{n-i}^2 $$ 是 $$ \sigma^2=\frac{\gamma V_L}{1-\sum_{i=1}^n \alpha_i}. $$
攔截的存在 $ \gamma V_L $ 限制 $ \sigma_n^2 $ 永不低於 $ \gamma V_L $ （如果 $ \alpha_i>0, \forall i $ ）。您可以說這是一個基本的（在統計上，而不是在主題意義上）變異數水平。我不知道這個術語在金融理論中會扮演什麼特殊角色，但是我也不是很精通金融理論。
ARCH 模型及其擴展已被證明是對宏觀經濟和金融數據建模非常有用的工具。以這種簡單的方式對條件變異數建模的想法現在似乎微不足道，但必須有人首先提出它。有趣的是，簡單的模型通常可以很好地擬合經驗數據。Engle 的原始論文也是該模型許多擴展和改進的起點——這表明原始想法有一些有價值的東西。數以萬計的引用（對於 ARCH 和 GARCH 及其擴展）後來我們看到該模型已被金融界廣泛接受，這是諾貝爾獎的一個非常重要的衡量標準。你不能從諾貝爾獎的考慮中排除在足夠大的領域中已經成為標準和基準的東西，