標準差、波動率和二次變異有什麼區別？
標準差、波動率和二次變異有什麼區別？
據我所知，波動率是對數收益的標準差，因此它們基本相同。（其中一個用於數學，另一個用於金融。）我也知道隨機過程的二次變分是什麼。在我看到的很多文章中，在很多課程中我聽說波動率是隨機過程的二次變分。因此標準差等於二次變異？我不會肯定地說最後一句話，但這將是一個合乎邏輯的結論，不是嗎？
有什麼區別？我認為我的定義有很大的問題。
僅使用單詞而不使用方程式：
知道了布朗運動的變異數（或標準偏差），我們可以計算粒子未來位置的不確定性。會心 $ \sigma^2 $ 並假設粒子開始於 $ S_0 $ 我們可以說 $ S_T $ 將在 $ [S_0-1.96 \sigma, S_0+1.96 \sigma] $ 95% 的時間。換句話說，95% 的軌跡開始於 $ S_0 $ 將在這個時間間隔結束 $ T $ .
波動性是金融中的另一個名稱 $ \sigma $ 它出現在 GBM 的公式中。它是對數股票價格變化的標準差。它也是基礎 BM 的標準差，但要找到股票價格，我們必須取這個 BM 的指數，在 GBM 上給出一個點。
現在關於二次變分。人們常說二次變分是一個基於路徑的概念。當一個程序（不一定是 BM 或 GBM）從 $ S_0 $ 到 $ S_T $ 它將遵循特定的軌跡（或路徑），我們通常在黑板上畫出一條非常參差不齊的曲線。當粒子沿著這條軌跡移動時，我們可以通過對 S 中的平方運動求和（積分）來計算二次變分。（所以你可以說二次變分是另一個過程 $ QV_t $ 從過程中計算出來的 $ S_t $ ）。當我們來臨時 $ t=T $ 我們將找到這條路徑的總二次變化 $ QV \triangleq QV_{[0,T]} $ . 自然如果 $ S_t $ 採取了不同的路徑（用不同顏色的粉筆在黑板上繪製的不同曲線）我們會找到不同的值 $ QV_t $ 在每一個 $ t $ 也為了 $ QV $ . 沿特定路徑測量二次變化。
QV 是一個隨機變數（我們可以通過測量進行實驗觀察）， $ \sigma $ 是一個參數（我們可以為計算目的隨意選擇一個值）。合理的選擇方式 $ \sigma^2 $ 對於 BM 來說，就是進行多次實驗並取平均值 $ QV $ 我們觀察到的。
（我試圖給出一個非技術性的描述。如果我寫的內容有任何不准確或矛盾之處，我將不勝感激。謝謝）。