導致波動率偏斜的“跳躍”背後的直覺是什麼？
一些模型使用跳躍作為解釋波動率偏斜的一種方式。我知道如果存在跳躍，那麼您將被“迷惑”，因為您不再能夠持續對沖。期權具有伽馬成分，做空期權意味著您可能會在期權上損失更多，因為在跳躍期間您將比您的複制投資組合更長/更短的增量。
但是，這本身不應該解釋歪斜正確嗎？所有選項都有一些伽瑪值，而 ATM 選項的伽瑪值最多。那麼是什麼讓側翼選項擁有最多的 IV 呢？我可以想像在收市期間的 2SD 移動會導致 50 delta 期權的損失比 1 delta 期權更大。
謝謝
跳躍是解決現代投資組合理論中數學錯誤的一種嘗試。在 19502-70 年代，經濟學家致力於解決變異數-均值權衡問題。此外，他們需要通過打孔卡計算來做到這一點。這從根本上限制了一組可計算的潛在解決方案。正態分佈和對數正態分佈都可以通過打孔卡計算來處理。
然而，有兩個問題。第一個是大多數經濟學家不知道的。1958 年，一位名叫約翰·懷特的數學家證明了以下形式的方程沒有解 $ w_{t+1}=Rw_t+\epsilon_{t+1},R>1 $ 在頻率統計。當然，如果 $ R\le{1} $ . 我們將回到這一點。第二個是 Mandelbrot 從 1963 年開始發表文章，這些文章的回報率很高，而且不可能來自有變異數的分佈。換句話說，不存在變異數-均值權衡，因為第一個中心矩不存在。
回到 60 年代和 70 年代，其繁瑣的討論和 Fama-MacBeth 工作的結果將 CAPM 排除在經驗科學之外，有一種選擇需要做出。接受沒有均值且沒有經濟學家可以研究的數學基礎的分佈，或者根據實際情況決定存在均值並添加跳躍以嘗試覆蓋大的變化。這個數學很容易處理。
那是一個不幸的選擇。不幸的是，回報的分佈是$$ R_{total}=R_G\times{\Pr(G)}+R_M\times{\Pr(M)}+0\times{\Pr(B)}+R_D\times{\Pr(D)}-R_L, $$在哪裡 $ G $ 表示持續經營， $ M $ 表示合併， $ B $ 表示破產， $ D $ 表示股息和 $ L $ 表示流動性成本的損失回報。的分佈 $ R_G $ 是$$ \left[\frac{\pi}{2}+\tan\left(\frac{\mu}{\sigma}\right)\right]^{-1}\frac{\sigma}{\sigma^2+(R_G-\mu)^2}. $$
回到懷特，從早些時候開始，他的證明是斜率估計器的抽樣分佈是柯西分佈。像 Black-Scholes 這樣的模型是建立在 Ito 或 Stratonovich 微積分之上的。兩者都假設所有參數都是已知的。因此，它是一個基於參數的模型。如果您不了解它們，那麼您將無法在它們上建構模型。相反，您會根據足夠的統計數據建構它們。由於足夠的統計資訊與參數無關，因此您不會引用該參數。
因此，如果參數已知但無效，則像 Black-Scholes 這樣的模型是有效的，根據 White 和 Sen 稍後的概括文章，如果參數未知。對於 CAPM 或 Black-Scholes 等模型，不存在頻率主義解決方案，因為眾所周知，除非您使用基於非均值和非變異數的工具，否則這是不可能的。
這開啟了貝氏解決方案的可能性，除了貝氏解決方案最終沒有均值或變異數，因為結果不一樣。這也應該作為一個深刻的警告。
所有貝氏估計量都是可接受的估計量。頻率估計量僅在兩種情況下是可接受的。首先是貝氏解和頻率解對於每個樣本都是相同的。第二個是Frequentist解決方案在極限處與貝氏解決方案相匹配。因此 $ \bar{x} $ 是一個可接受的估計解 $ \mu $ 對於正態分佈，但 $ \frac{\sum(\sin(x_i))}{n-33} $ 不是。
儘管頻率估計器不一定是可以接受的，有時也不是，但當它們不是時，應該進行調查。可能是模型導出不正確。
波動率的偏斜是算法的產物。相反，考慮回報而不是期權價格，因為討論起來更簡單，回報是 $ R=\frac{FV}{PV}-1, $ 算法如$$ \Pr(\sigma|X,\mu)=\int_{-1}^\infty\frac{\prod_{i=1}^I\left[\frac{\pi}{2}+\tan\left(\frac{\mu}{\sigma}\right)\right]^{-1}\frac{\sigma}{\sigma^2+(x_i-\mu)^2}\times{1}}{\int_{-1}^\infty\int_0^\infty\prod_{i=1}^I\left[\frac{\pi}{2}+\tan\left(\frac{\mu}{\sigma}\right)\right]^{-1}\frac{\sigma}{\sigma^2+(x_i-\mu)^2}\times{1}\mathrm{d}\mu\mathrm{d}\sigma}\mathrm{d}\mu,\forall\sigma\in\Re^{++}. $$
會有少量的自然偏斜，因為分佈應該收斂到標準偏差比率分佈，但它會很小。它與 Snecdor 的 F 分佈有關。
請注意，我乘以 $ 1 $ 而且真的不應該。為此存在良好的先驗，但我不想強加先驗，因為您應該使用自己的先驗。
波動率偏斜是用於測量它的工具的產物，並且圍繞 Ito 模型存在一個不存在定理。
事實上，我不認為這是真的。跳躍，當添加到 Black-Scholes (BS) 動力學中時，確實會修改波動率表面。但是，波動率偏斜可能會反轉：當罷工接近目前值時，隱含的 BS 波動率可能會更高 $ S(0) $ 標的資產 $ S $ .
考慮一個理想化的例子： $$ \log(S(t+dt) / S(t)) ={\rm[normal\ variable\ with\ infinitesimally\ small\ volatility]} \pm 0.1 * {\rm Poisson}(3 * dt). $$
第二項是跳躍。考慮一鍵式二元期權 $ C $ 罷工 $ K $ 和到期 $ dt $ . 如果標的價格，該期權支付1美元 $ S(t) $ 觸及罷工。考慮投資組合 $ P = (1/dt $ 單位 $ C) $ . 那麼，如果罷工 $ K $ 落在外面 $ [S(0)e^{-0.1}, S(0)e^{+0.1}] $ , 投資組合的真實價格 $ P $ 收斂到 0 為 $ dt $ 收斂到 0。另一方面，如果罷工 $ K\in [S(0)e^{-0.1}, S(0)e^{+0.1}] $ , 投資組合的真實價格 $ P $ 留在身邊 $ 3 * $1 $ 作為 $ dt $ 收斂到 0。
Black-Scholes 模型中的隱含波動率必須補償這種現象（如 $ dt $ 收斂到 0)。什麼時候 $ K $ 從移動 $ 0 $ 進入 $ [S(0)e^{-0.1}, S(0)e^{+0.1}] $ ，隱含波動率從 0 躍升至正值。同樣，當 $ K $ 正在離開 $ [S(0)e^{-0.1}, S(0)e^{+0.1}] $ 在路上 $ +\infty $ ，隱含波動率從正值下降到 0。