為什麼 ATM 跨式的價格與隱含波動率的“美元走勢”不同？
知道隱含波動率代表股票價格的年化 +/-1 標準偏差範圍，為什麼 ATM 跨式的價格與此不同？同樣為簡單起見，沒有利率，沒有股息，股票的回報是正態分佈的。
在布萊克-斯科爾斯下：
Spot = 100 Strike = 100 DTE = 1 year IV = 20% Rates = 0 Dividend = 0認購價和認沽價均為7.97。意味著跨式成本：15.94 美元
要將股票的預期 1 Std Dev 範圍從 IV 轉換為 1 Std Dev 美元金額，股票預計會移動：
Implied Vol * √(DTE/252) * Stock Price在我們的例子中，我們不需要這樣做，因為我們的跨式在一年（252 天）內到期，而 IV 已經代表了股票的年化標準偏差範圍。所以它只是一個**+/- 20美元的範圍。意味著 68.2% 的時間，股票預計會保持在≥80 或 120≤的範圍內**
那麼為什麼跨式的成本是15.94****美元而不是20.00****美元呢？
**為了補充這個問題，如果交易者已經知道σ (IV)**項，我見過的交易者用來獲取跨式價格的常用公式是：
Straddle Price = 0.8 * Implied Vol * √(DTE/252) * Stock Price如果已經知道跨式價格，那麼獲得 IV 的反向公式是：
Implied Volatility = 1.25 * (Straddle Price/Stock Price) * √(DTE/252) * Stock Price總結一下我的問題是：
- 為什麼跨式美元價格不同於（小於）IV 的 1 個標準差美元範圍？這是否意味著跨式被低估了，因為它應該花費20****美元，但實際上花費了****15.94美元？
- 在第一個公式中，為什麼隱含波動率乘以 0.8？如果您刪除它，那麼跨式的價格將是股票預期 +/- 1 Std Dev 範圍的確切美元金額，這是有道理的。
- 在第二個公式中，我們為什麼要乘以 1.25？
這對我來說沒有意義，因為我應該認為“精確”的 ATM 跨式應該花費預期的 1 Std Dev 美元（“預期移動”）。
差異來自這樣一個事實，即跨式的價格不等於標準偏差（例如波動率），而是平均絕對偏差（ $ \text{MAD} $ ) 的股票價格。讓我們看看兩者的定義 $$ \text{MAD} = \mathbb{E}[|X-\mu|], \qquad \sigma = \sqrt{\mathbb{E}[(X-\mu)^2]}. $$ 在選項的上下文中 $ \mu $ 代表目前的底層證券。接下來讓我們看看有罷工的跨式支付 $ K $ :
$$ \max(X-K, 0) + \max(K-X, 0)=\left{ \begin{matrix} X-K, \text{if } X\geq K \ K-X, \text{if } X<K \end{matrix}\right.=|X-K| $$
我們可以看到，對於平價跨式 $ K=\mu $ 因此支出等於絕對偏差。在計算期望值時，我們得到期權值恰好等於 $ \text{MAD} $ .
此外，對於正態分佈，兩者之間的關係由下式給出 $$ \text{MAD} = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \sigma \approx 0.79788\sigma. $$ 可以在此處找到證明：math.stackexchange.com。