為什麼在 Black-Scholes 模型中使用對數收益的波動率而不是標的資產絕對水平的波動率？

如果我想用 BS 模型為期權定價，為什麼我必須使用 sigma 參數的標的物對數收益的標準差，而不僅僅是標的物絕對價格水平的標準差？

Black Scholes 假設價格序列是對數正態分佈的，因此 $ ln(S_t) = X $ ， 在哪裡 $ X $ 是正態分佈的

請注意，要為期權定價，您希望獲得基礎價格達到行使價的機率，因此基本上您想要從目前水平躍升至行使價水平的機率，即：

$$ X_i = ln(\frac{K}{S}) $$

這個變數是正態分佈的，為了將其轉換為標準正態，我們將減去平均值並除以標準差，

$$ \frac{X_i - \bar{X}}{std(X)} $$

在 BS 框架中將是 $ \bar{X} = (r - \frac{1}{2}\sigma^2)t $ 和 $ std(X) = \sigma \sqrt{t} $

替換上面的內容可以為您提供：

$$ d = \frac{ln(K/S) - (r-\frac{1}{2} \sigma^2)t}{\sigma \sqrt{t}} $$

這將允許您通過使用標準正態分佈來確定潛在收盤價低於行使價的機率，即 $ P[S_t < K] = N(d) $

因為正態分佈是對稱的， $ P[S_t \geq K] = 1 - P[S_t < K] $ , 所以你只需要把它改成 $ 1 - N(d) $ 或者 $ N(-d) $ ，基本上就是 BS 期權定價公式中的 N(d2)

這就是說，您正在對價格回報進行建模，因此您應該使用回報的波動性，而不是絕對的價格變化

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/51224