對數線性化歐拉消耗方程
我正在嘗試對 Gali 書中的 Euler 消耗方程進行對數線性化。他說：
的對數線性近似 $ Q_{t}= \beta E_{t}[(\frac{C_{t+1}}{C_{t}})^{-\sigma}(\frac{Z_{t+1}}{Z_{t}})(\frac{P_{t}}{P_{t+1}})] $ (1)
我昨晚整晚都在嘗試學習對數線性化，所以這可能是我的答案不正確的原因，但這是我的嘗試：
我重新寫 $ Q_{t}=\frac{1}{1+i_{t}} $ 因此（1）變為：
$ 1= \beta E_{t}[(1+i_{t})(\frac{C_{t+1}}{C_{t}})^{-\sigma}(\frac{Z_{t+1}}{Z_{t}})(\frac{P_{t}}{P_{t+1}})] $
記錄雙方的日誌（我假設我可以忽略期望運算符，儘管我不太確定為什麼）：
$ 0=ln(\beta) + ln(1+i_{t})- \sigma[ln(c_{t+1}) - ln(c_{t})] + ln(z_{t+1}) - ln(z_{t}) + ln(P_{t}) - ln(P_{t+1})] $ (2)
近似於穩態值：
$ 0=ln(\beta) + ln(1+i^{})+(\frac{1}{1+i^{}})(i_{t}-i^{})- \sigma[ln(c^{})+(\frac{1}{c^{}})(c_{t+1}-c^{}) - ln(c^{}) - (\frac{1}{c^{}})(c_{t}-c^{})] + ln(z^{}) + (\frac{1}{z^{}})(z_{t+1}-z^{}) - ln(z^{}) - (\frac{1}{z^{}})(z_{t}-z^{})+ ln(P^{}) + (\frac{1}{P^{}})(P_{t}-P^{}) - ln(P^{}) - (\frac{1}{P^{}})(P_{t+1}-P^{*}) $
那很混亂，但希望你能看到我在做什麼，一個簡單的圍繞穩態的一階近似。接下來我使用等式（2）取消了一些項。我留下了：
$ (\frac{1}{1+i^{}})(i_{t}-i^{})- \sigma(\frac{1}{c^{}})(c_{t+1}-c^{}) + \sigma(\frac{1}{c^{}})(c_{t}-c^{}) + (\frac{1}{z^{}})(z_{t+1}-z^{}) - (\frac{1}{z^{}})(z_{t}-z^{}) + (\frac{1}{P^{}})(P_{t}-P^{}) - (\frac{1}{P^{}})(P_{t+1}-P^{}) = 0 $
根據與穩態的偏差重寫：
$ \tilde i_{t} - \sigma \tilde c_{t+1} + \sigma \tilde c_{t} + \tilde z_{t+1} - \tilde z_{t} + \tilde p_{t} - \tilde p_{t+1} = 0 $
我可以重新安排這個 $ \tilde c_{t} $ 並放入期望運算符，但我的答案與 Gali 的不符。他說：
$ c_{t} = E[c_{t+1}] + \frac{1}{\sigma}(i_{t} - E_{t}[\pi_{t+1}] - \rho) + \frac{1}{\sigma}(1-\rho {z})z{t} $
首先，我不明白在哪裡 $ \rho $ 來自，因為它不在（1）中。此外，我線上性近似中犯了錯誤嗎？我不應該使用 (2) 來取消條款嗎？
我剛剛學習了對數線性化，所以我的方法可能很幼稚。我只是簡單地“記錄”了兩邊，在穩態附近使用了一階泰勒近似，取消了“記錄”步驟中的項並解決了消耗問題。
非常感謝任何幫助！
為了簡化問題，讓我們稱你的起始方程的右手邊 $ X_t $ 然後，我就像你一樣開始
$ 1 = X_t $
您的解決方案與 Gali 的不同之處在於您採用了泰勒展開式
$ \log(1)=0=log(X_t) $ 這意味著穩態也等於 0，所以我們可以簡單地減去它以獲得對數差，
而加利使用
$ 1 = \exp(\log(X_t)) $ 有穩定狀態 $ 1=\exp(\log(X^*)) $
讓我們定義 $ x_t=\log(X_t) $ .
根據泰勒展開式的定義，這給出
$ T(1) = \exp(x^)+\exp(x^)(x_t-x^*) $
請注意，指數函式與其導數相同。我們知道 $ \exp(x^*)=1 $ 從上面，所以我們可以簡化為
$ T(1)=1+(x_t-x^*) $
在這一點上，你是正確的 $ \rho $ 抵消。而不是定義 $ \hat{x}_t=x_t-x^* $ 但加利選擇替換 $ \rho=\pi +\sigma \gamma-i $ ，這是穩態條件，這就是為什麼 $ \rho $ 留在紙上。
但是請注意，採用對數差異而不是 Gali 方法的“近似誤差”很小，即 $ \beta=0.99 $ 它只是 $ -\log(0.99)\approx 0.01 $
看看 Gali 的書的附錄 2.1！這很複雜，但連同這篇文章，我希望你能明白！