消費者理論（尋找需求函式）
假設 Sally 對裝有食物的籃子的偏好（好 $ x $ ), 和衣服 (好 $ y $ )，由效用函式描述 $ u (x, y) = \sqrt{x} + y $ . Sally 對應的邊際效用為 1 MU $ _x=\frac{1}{2\sqrt{x}} $ 和畝 $ _y=1 $ . 採用 $ p_x $ 代表食物的價格， $ p_y $ 代表服裝的價格，以及 $ I $ 代表莎莉的收入。
問題 1：求 Sally 的食物需求函式和 Sally 的服裝需求函式。出於這個問題的目的，您應該假設 $ I/p_y \geq p_y/(4p_x) $ .
我很難弄清楚如何解決這個問題，任何形式的幫助都將不勝感激。
給定數據：
- 實用功能： $ u(x, y) = \sqrt{x} + y $
- 收入： $ I > 0 $
- 價格： $ p_X > 0 $ 和 $ p_Y = 1 $
效用最大化問題是
$$ \begin{eqnarray*} \max\limits_{x,y} & \ \ \sqrt{x} + y \ \text{s.t.} & \ \ p_Xx+ y = I \ \text{and} & \ \ x\geq 0, \ \ y\geq 0 \end{eqnarray*} $$ 我們可以代替 $ y = I - p_Xx $ 在目標中並將其轉換為單變數優化問題： $$ \begin{eqnarray*} \max\limits_{x} & \ \ \sqrt{x} + I- p_Xx \ \text{s.t.} & 0 \leq x \leq \frac{I}{p_X} \end{eqnarray*} $$ 區分目標 $ x $ 產量： $ \frac{1}{2\sqrt{x}} - p_X $ 這是一個減函式 $ x $ . 對導數的解釋是，它是消費X的淨邊際收益曲線。只要導數為正，在X上花更多的錢是值得的。因此，效用最大化的選擇就是花掉所有的錢如果淨邊際收益曲線仍然是正的，則在 X 上 $ x = \frac{I}{p_X} $ IE $ \frac{1}{2}\sqrt{\frac{p_X}{I}} - p_X>0 $ 成立，並且均衡選擇將滿足性質 $ \frac{1}{2\sqrt{x}} - p_X = 0 $ 除此以外。因此，X 的需求函式為： $ \begin{eqnarray*} x(p_X, p_Y = 1, I) = \begin{cases} \frac{1}{4p_X^2} & \text{if } \frac{1}{2}\sqrt{\frac{p_X}{I}} - p_X\leq 0 \ \frac{I}{p_X} & \text{if } \frac{1}{2}\sqrt{\frac{p_X}{I}} - p_X>0 \end{cases} \end{eqnarray*} $
首先，你的效用函式在兩種商品中都是嚴格遞增的，所以你知道你的預算會綁定，所以你可以設置 I=pxx+pyx
其次，您的效用函式被稱為“準線性”，其中好 y 在您的效用中是線性的，而另一種好則存在於與 y 無關的某個遞增函式中。這就是為什麼 y 的邊際效用只是一個常數。
最後，求解 x，其中 x 是價格的函式，然後將其代入預算約束以求解 y。y 應該是價格和收入的函式。
由於您展示了一些工作：
設置 MU 的比率與價格的比率： $ MU_x/MU_y=p_x/p_y $ , 產生一個需求 $ x=\frac{p_y^2}{4p_x^2} $
現在將其插入預算，產生需求 $ y= \frac{I}{p_y}-\frac{p_y}{4p_x} $