最大化問題的角解
回答
您好，我上傳了帶有 8 頁答案的實際問題。請你檢查一下。是否有角落溶解 $ c=\gamma $ . 請分享你的想法。謝謝。
這是問題的表述： $$ \begin{eqnarray*} \max_{c, h, l} \ & \ln (c - \gamma) + \beta l + \theta h \ \text{s.t.} & l + h = 1, \ & c \leq \omega h + \rho, \ \text{and} & l, h \geq 0, c \geq \gamma \end{eqnarray*} $$
替代 $ l = 1 - h $ ，我們可以將上述問題改寫為： $$ \begin{eqnarray*} \max_{c, h} \ & \ln (c - \gamma) + \beta + (\theta -\beta)h \ \text{s.t.} & 0 \leq h \leq 1 \ \text{and} & \gamma \leq c \leq \omega h + \rho\end{eqnarray*} $$
由於效用在增加 $ c $ , $ c = \omega h + \rho $ 將保持最佳狀態。所以我們可以進一步將問題簡化為：
$$ \begin{eqnarray*} \max_{h} \ & \ln (\omega h + \rho - \gamma) + \beta + (\theta -\beta)h \ \text{s.t.} & 0 \leq h \leq 1 \ \text{and} & \gamma \leq \omega h + \rho\end{eqnarray*} $$
請注意，我們將假設 $ \omega + \rho \geq \gamma $ . 這是因為當 $ \omega + \rho < \gamma $ , 沒有可行的解決方案。換句話說，不存在任何 $ h $ 滿足約束。
為了解決這個問題，我們將考慮兩種情況：
- 案例一： $ \rho \geq \gamma $
在這種情況下，問題可以寫成：
$$ \begin{eqnarray*} \max_{h} \ & \ln (\omega h + \rho - \gamma) + \beta + (\theta -\beta)h \ \text{s.t.} & 0 \leq h \leq 1 \end{eqnarray*} $$
關於目標的導數 $ h $ 是 $ \frac{\omega}{\omega h + \rho - \gamma} + (\theta -\beta) $ 產生以下解決方案：
$$ \begin{eqnarray*} h = \begin{cases} 1 & \text{if } \frac{\omega}{\omega + \rho - \gamma} + (\theta -\beta) \geq 0 \ 0 & \text{if } \frac{\omega}{\rho - \gamma} + (\theta -\beta) \leq 0 \ \frac{1}{\beta -\theta} - \frac{\rho - \gamma}{\omega} & \text{otherwise} \end{cases} \end{eqnarray*} $$
- 案例2： $ \rho < \gamma $
在這種情況下，問題可以寫成：
$$ \begin{eqnarray*} \max_{h} \ & \ln (\omega h + \rho - \gamma) + \beta + (\theta -\beta)h \ \text{s.t.} & \frac{\gamma - \rho}{\omega} \leq h \leq 1 \end{eqnarray*} $$
關於目標的導數 $ h $ 是 $ \frac{\omega}{\omega h + \rho - \gamma} + (\theta -\beta) $ 產生以下解決方案：
$$ \begin{eqnarray*} h = \begin{cases} 1 & \text{if } \frac{\omega}{\omega + \rho - \gamma} + (\theta -\beta) \geq 0 \ \frac{1}{\beta -\theta} - \frac{\rho - \gamma}{\omega} & \text{otherwise} \end{cases} \end{eqnarray*} $$
結合這兩種情況，我們可以將解決方案寫成：
$$ \begin{eqnarray*} h = \begin{cases} 1 & \text{if } \frac{\omega}{\omega + \rho - \gamma} + (\theta -\beta) \geq 0 \ 0 & \text{if } \frac{\omega}{\rho - \gamma} + (\theta -\beta) \leq 0 \text{ and } \rho \geq \gamma \ \frac{1}{\beta -\theta} - \frac{\rho - \gamma}{\omega} & \text{otherwise} \end{cases} \end{eqnarray*} $$
使用 $ c = \omega h + \rho $ 和 $ l = 1 -h $ 我們可以得到最優值 $ c $ 和 $ l $ 在每種情況下。