是否總是存在一個間接效用函式是支出函式倒數的消費束？
兩個問題：
- 給定 $ v(\vec{p},m) $ 和 $ e(\vec{p},\bar{U}) $ ，是否只有一個點是它們的倒數？
- 對於給定的價格向量是否總是存在逆 $ \vec{p} $ ， 收入 $ m $ 和 $ \bar{U} $ , $ v $ 和 $ e $ ?
這些是我和我的伙伴們在準備期中考試時爭論的問題。
另外，我更喜歡嚴格的答案，所以如果可以，請隨意徹底。
關於問題1：
假設消費者有一個單一的收入值 $ m $ , 只能有一個值 $ m $ . 所以根據這個概念 $ e $ 和 $ v $ 是逆數，只能有一個值 $ e $ 為此 $ m $ 對應，因此只有一個 $ u $ . 所以只有一點。
關於問題2：
如果我們有（1）一個連續且局部非飽和的效用函式，並且（2）如果 $ m > 0 $ (3) 如果UMP和EMP都存在，那麼它們是等價的。和 $ e $ 和 $ v $ 是逆。
權利要求 1：解決 UMP 解決了 EMP。
證明：
假設捆綁 $ c^* $ 解決 UMP 但不是 EMP。讓 $ c’ $ 解決 EMP。然後（1）花費的金額 $ c^* $ 大於 $ c’ $ 所以 $ u(c’) \geq u(c^) $ 因為顯然花費更多意味著更糟或相同的效用。但是（2）由於局部不滿足，消費存在捆綁 $ c’’ $ 足夠接近 $ c’ $ 這樣的金額 $ c’’ $ 少於花費的金額 $ c^ $ 和 $ u(c’’) > u(c^) $ . (3) 矛盾，因為我們假設 $ c^ $ 解決UMP。
主張 2：解決 EMP 解決了 UMP。
證明：
假設捆綁 $ c^* $ 解決 EMP 但不解決 UMP。讓 $ c’ $ 解決UMP。那麼（一） $ u(c’) > u(c^) $ 即使我們在每一個上花費相同的金額。那是， $ c^ $ 不能解決 UMP，因為相同的效用較少 $ m $ . 因為金額為正，我們可以找到 $ t $ 在哪裡 $ 0<t<1 $ 這樣的金額 $ tc’ $ 低於花費在 $ c^* $ 然而 $ u(tc’) > u(c^) $ 因為 $ c^ $ 不解決UMP。(3) 矛盾，因為我們說過 $ c^* $ 解決了 EMP。
概括：
- 如果 UMP 或 EMP 存在解，則另一個解存在並且它們是反函式。
- 如果逆存在，它一定是一個點。