寫出 Cobb-Douglas 函式的效用優化問題的快速方法？
在我的最後一個問題集中，我必須解決 Cobb Douglas 效用函式的效用最大化問題 (UMP) 和支出最小化問題 (EMP)。回想一下，科佈道格拉斯被定義為
$$ U(x,y) = x^\alpha y^\beta $$ 我可以計算 EMP 或 UMP。然後我可以通過“對偶”找到另一個。但是寫這個問題是非常乏味和混亂的。我最終得到了這樣的間接效用函式
$$ v(p_x,p_y,m) = \left(\frac{\alpha m}{p_x}\right)^\alpha \left( \frac{\beta m }{p_y}\right)^\beta $$ 在進行所有這些乘法運算時，做拉格朗日算術有點笨拙。
有沒有更簡單的方法來編寫可以節省我時間/精力的問題？
好吧，所有的 Cobb-Douglas 都有一個結構，它是使股票常數成為獨立於價格的預算股票的效用 $ p_{l}x^{CD}{l}(p,w)/w=\alpha{l} $ 和 $ u^{CD}(x)=\sum_{l}\alpha_{l}log(x_{l}) $ 和 $ \sum_{l}\alpha_{l}=1 $ . 然後你可以回去計算 $ x_l(p,w) $ ，用這個間接效用，然後反演得到支出，然後推導得到希克斯。不確定這是否是您想要的，但某些實用程序函式具有定義屬性，與 leontief 或 CES 相同。
這是一種通用方法（找到一種使實用程序問題更易於處理的轉換。
假設一個家庭有公用事業$$ U(x,y) = x^\alpha y^\beta $$.
效用函式是一種表示偏好的便捷方式。然而，我們在本章中看到效用函式有很多限制。一個限制是，儘管效用函式告訴我們很多關於商品的序數排名，但它們沒有透露任何關於基數排名的資訊。換句話說，我們知道消費者喜歡什麼，但不知道這種偏好的強度。正因為如此，我們可以將效用函式轉換、拉伸或壓縮成任何形式，只要我們不改變對捆綁的偏好順序，我們仍然可以對商品的相對效用進行相同的表示。
Austan Goolsbee、Steven Levitt 和 Chad Syverson 的微觀經濟學
我們將記錄這個效用函式，因為它是一個正單調變換。它將給出所有相同的偏好關係，因此我們可以計算相同的需求函式。
$$ u(x,y) = \log (U(x,y)) = \alpha \log (x) + \beta \log(y) $$.
讓我們重寫優化函式 $$ \max_{s.t. x p_x + y p_y = m} \alpha \log (x) + \beta \log(y) $$
作為拉格朗日，我覺得更容易理解。
$$ \max \alpha \log (x) + \beta \log(y) - \lambda (x p_x + y p_y - m) $$
$$ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\alpha}{x} -\lambda p_x = 0 $$
$$ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\beta}{y} -\lambda p_y = 0 $$
$ \Rightarrow \frac{\alpha}{x p_x} = \lambda $ 和 $ \frac{\beta}{y p_y} = \lambda $
$ \Rightarrow \frac{\alpha}{x p_x} = \frac{\beta}{y p_y} $ $ \Rightarrow y = \frac{\beta x p_x}{\alpha p_y} $
然後使用預算方程：
$$ m = x p_x + y p_y = x p_x + \frac{\beta x p_x}{\alpha p_y} p_y $$ $$ \Rightarrow m = x p_x + \frac{\beta x p_x}{\alpha} = x p_x(1 + \frac{1}{\alpha}) $$ $$ \Rightarrow x^* = \frac{m}{p_x(1 + \frac{1}{\alpha})} $$ $$ \Rightarrow y^* = \frac{\beta x^* p_x}{\alpha p_y} = \frac{\beta \frac{m}{p_x(1 + \frac{1}{\alpha})} p_x}{\alpha p_y} = \frac{\beta \frac{m}{(\alpha + 1)} }{ p_y} $$
注意 $ \frac{x p_x}{m} $ 是常數，是家庭偏好的函式，而不是相對價格。這就是著名的 Cobb Douglas 偏好的恆定預算份額結果。
還有另一種特定於 Cobb-Douglas 的方法。
請注意，如果效用函式是 $ U(x,y) = x^\alpha y^\beta $ 那麼邊際效用函式是： $$ U_x = \alpha x^{\alpha-1} y ^{\beta} = \alpha \frac{U}{x} $$ $$ U_y = \alpha x^{\alpha} y ^{\beta - 1} = \beta\frac{U}{y} $$ 這意味著拉格朗日的一階條件是
$$ \frac{\partial U}{\partial x} = \alpha \frac{U}{x}$ -\lambda p_x = 0 $$ $$ \frac{\partial U}{\partial y} = \beta\frac{U}{y} -\lambda p_y = 0 $$ 這意味著：
$$ \beta\frac{U}{y p_y} = \alpha \frac{U}{x p_x} \Rightarrow \beta\frac{x p_x}{\alpha p_y} = y $$
這正是我們第一種方式所做的，並且會給出相同的結果 $ x^* $ 和 $ y^* $ .