對於給定的一組消費束，我們如何知道消費者之間是否存在差異？
在我的教授講義（它更像一本書）中，他陳述了偏好關係的四個屬性：
- 單調性
- 及物性
- 連續性
- 完整性
然後他繼續討論效用水平和無差異曲線。他將無差異曲線描述為水平集，消費者之間無差異的消費束位於同一條無差異曲線上。
我的問題：
對於給定的一組消費束，我們如何知道消費者之間是否存在*任何消費束？*我不知道我們如何在不知道的情況下定義無差異曲線。
我們可以得到無差異集不是單例的結果，即在偏好關係下等價的消費束一定存在，通過使用一個Consumption Set $ X $ 定義在 $ \mathbb R_+^n $ ，即在真實向量上，以及偏好連續性的屬性（儘管可能存在替代性較弱的先決條件）。
陳述偏好連續性屬性的等效方法（參見例如 Mas-Collel 等人，第 3.C 章）是 $ \forall x \in X $ 上等高線集 $ UCS $ 和下輪廓集 $ LCS $ 都是封閉的，即它們包括它們的邊界。等高線集是包含消費束“至少與 $ x $ ”（上）和“至多與 $ x $ ”（下）。為了讓他們“包含”他們的邊界”，首先必須存在邊界。但它們的邊界是無差異集，包含所有作為首選的束的集合 $ x $ .
所以你的問題基本上歸結為上輪廓集或下輪廓集的邊界是否可能 $ x $ ，在實向量上定義的集合，是單點嗎？
我相信，在二維中設想這一點將表明這是不可能的，但讓我們證明它。
荒謬絕倫，假設這適用於某些人 $ x \in X $ . 然後對於任何其他消費束 $ X $ ， 說 $ x’ $ ，我們將有 $ x’>{pr} x $ 或者 $ x’<{pr} x $ . 換句話說，任何其他點 $ X $ 將屬於 $ UCS_x $ 或在 $ LCS_x $ ，但兩者都沒有。
所以考慮兩個這樣的點， $ x’’>{pr}x>{pr}x’ $ . 假使，假設 $ x’={\mathbf y_{(n-1)}, y_n} $ , $ x’’={\mathbf y_{(n-1)}, y_n+\epsilon(k)} $ ，即它們僅在貨艙中的一種貨物上有所不同， $ \epsilon(k)>0 $ .
現在將這兩個點轉換為兩個點序列， $ {x’’_k} $ 和 $ {x’k} $ , 索引為 $ k= 1,… $ 並通過建構序列 $ {\epsilon_k} $ 這樣 $ {\epsilon_k} >0; \forall k $ 但是也 $ \lim{k\rightarrow \infty} \epsilon_k = 0 $ . 所定義的消費空間允許這些結構。我們當然注意到 $ {x’_k} $ 是一個常數序列，因為它的值不會隨著 $ k $ 變化，但這是完全合法的。
現在考慮對的序列，對於每個 $ k $ , $ {(x’’_k, x’k)}{k=1}^{\infty} $ , 它認為
$$ x’’k >{pr} x’k;;;\forall k \tag{1} $$ $$ \lim{k\rightarrow \infty} x’’k = x’ $$ $$ \lim{k\rightarrow \infty} x’_k = x’ $$ 在偏好連續性下，我們應該得到
$$ (1) \implies \lim_{k\rightarrow \infty} x’’ >{pr} \lim{k\rightarrow \infty} x’ $$ 但這顯然是不可能的，因為這些限制是相同的。所以通過假設存在一個 $ x $ 在沒有其他捆綁在偏好關係方面等價的消費集中，我們違反了連續性屬性。 或者，由於束是在實向量上定義的，並且兩者 $ UCS $ 和 $ LCS $ 由於 Continuity 屬性是封閉的，那麼每個收斂的 Cauchy 序列都有其極限*。*所以序列 $ {x’’_k} $ 有它的限制 $ UCS_x $ , 而序列 $ {x’k} $ 必須有它的限制 $ LCS_x $ . 但是這個限制和上圖一樣，等於 $ x’ $ . 但這兩組的唯一共同點是 $ x $ . 所以一定是這樣的 $ x’=x $ . 但這不能成立，因為我們已經開始假設 $ x>{pr} x’ $ .
無差異集是單例的一個例子是Lexicographic Preferences的情況。並且 Lexicographic Preferences 不是連續的。