如何得到這個預算約束？
我有一個歐拉方程 $ (\frac{ c_ {t+1} }{c_t})^\sigma = \beta (1+r) $ ，在哪裡 $ c_t $ 是第 t 期消費，r 是利率， $ \beta $ 是貼現率，是預算約束 $ \sum _{t=0}^\infty \frac{c_t}{(1+r)^t}=\sum _{t=0}^\infty \frac{y_t}{(1+r)^t} $ ， 在哪裡 $ y_t $ 是收入。
我的問題是如何將歐拉方程代入預算約束得到以下方程？
$ c_t\sum_{j=0}^\infty\frac{[\beta(1+r)]^\frac{j}{\sigma}}{(1+r)^j}=\sum _{t=0}^\infty \frac{y_t}{(1+r)^t} $
提示是使用遞歸歐拉方程來表達所有未來的消費 $ c_{t+j} $ 作為電流消耗的函式 $ c_t $ , 並使用左側總和中的索引。
提示： 分開消費時間段
$$ \begin{align} \left(\frac{ c_ {t+1} }{c_t}\right)^\sigma & = \beta (1+r) \ \frac{ c_ {t+1} }{c_t} & = \left[\beta (1+r) \right]^\frac{1}{\sigma} \ c_ {t+1} & = c_t \left[\beta (1+r) \right]^\frac{1}{\sigma} \ \end{align} $$ 請注意 $ (\frac{ c_ {t+2} }{c_{t+1}})^\sigma = \beta (1+r) $ . 所以，
$$ c_ {t+2} = c_{t+1} \left[\beta (1+r) \right]^\frac{1}{\sigma} = c_{t} \left[\beta (1+r) \right]^{\frac{1}{\sigma} \cdot 2} $$ 所以
$$ \sum _{t=0}^\infty \frac{c_t}{(1+r)^t} $$ 可以表示為幾何級數並簡化。自己解決這個問題應該會給你想要的答案。