消費者理論

如果不假設無差異曲線的嚴格凸性,那麼 MRS 是否必須為負?

  • May 17, 2015

嚴格凸性定義為

讓 $ X $ 是實向量空間中的凸集,令 $ f: X\rightarrow \Bbb{R} $ 成為一個函式。 $ f $ 稱為嚴格凸如果 $ \forall x_1 \neq x_2 \in X, $ 和 $ \forall t \in (0, 1) $ :

$$ f(tx_1+(1-t)x_2) < t f(x_1)+(1-t)f(x_2) $$

如果這不成立,邊際替代率是否仍然必須為負?

邊際替代率是無差異曲線的斜率乘以-1。由於無差異曲線是負斜率的(只要人們喜歡消費商品),MRS 總是的。這與偏好的凸性無關。

如果無差異曲線是凸的而不是嚴格凸的,那麼它是線性的,即它具有恆定的斜率。在這種情況下,邊際替代率是恆定的(但仍然是正的!)。

如果一種商品是無益的,而另一種是無益的,那麼無差異曲線的斜率為正,因此 MRS 為負。這是因為

$$ MRS(x,y) = - \frac{MU_x(x,y)}{MU_y(x,y)}, $$ 而如果 $ x $ 是有益的,那麼它的邊際效用, $ MU_x(x,y) $ 是正數,而如果 $ y $ 是無益的,那麼它的邊際效用將是非正的。(如果是中性商品,則為零。) 正如@Oliv 所說,這與凸性無關。

一個例子:讓 (y,t) 表示您擁有的金額以及您上班/上學所需的時間。你可能喜歡擁有盡可能多的錢。因為同樣的事情也適用於空閒時間,所以您可能希望盡量減少通勤時間。可以代表您的偏好的兩個實用函式:

$$ U_1(y,t) = y^2 - t \hskip 20pt U_2(y,t) = \sqrt{y} - t. $$ 金錢在這兩個方面都是有益的,而旅行時間則不然。但一個代表凸偏好,另一個代表凹偏好。

引用自:https://economics.stackexchange.com/questions/5686