跨期效用函式用法：計算消耗
我在考試中經常遇到這種情況，似乎無法理解如何使用這些功能，這是一個簡單的例子：
只住 2 個時期的消費者在第一個時期收到 1000 歐元，在第二個時期收到 5000 歐元，如果利息為 0%，知道他的效用函式為：他在兩個時期將消費多少：
U(C¹,C²) = 3×C¹×C²
其中 C¹ 是第一期的完成，而 C² 是第二期。
我如何利用這個效用函式來計算兩個時期的消耗？
既然OP已經給出了自己的答案，那我們也給出這個問題的標準處理。
沒有生產，消費者在每個時期都得到意外的禀賦， $ Y_1, Y_2 $ ，並且他可以在第一期以外生的非負利率借入（或貸出） $ r $ .
消費者的兩期預算約束是什麼？寫成這樣更直覺
$$ C_2 = Y_2 + (1+r)(Y_1-C_1) \tag{1} $$ 消費者可以在第一期消費根據其借貸活動結果調整的第二期禀賦：如果他的禀賦大於第一期的消費， $ Y_1-C_1 >0 $ ，即消費者作為債權人，在第二期將獲得本金加利息，在第二期的禀賦基礎上進行消費。
如果 $ Y_1-C_1 <0 $ 這意味著消費者充當了借款人，在第二個時期他將不得不歸還貸款及其利息。所以 $ (1) $ 涵蓋這兩種情況。
那麼效用最大化問題被表述為
$$ \max_{C_1,C_2} U(C_1,C_2) \ s.t. C_2 = Y_2 + (1+r)(Y_1-C_1) \tag{2} $$ 我們可以將約束插入到目標函式中，並且僅針對 $ C_1 $ . 所以一階條件是
$$ \frac {\partial U(C_1,C_2(C_1))}{\partial C_1} = 0 \tag {3} $$ 並且二階條件是
$$ \frac {\partial^2 U(C_1,C_2(C_1))}{\partial C_1^2} < 0 \tag {4} $$ 在臨界點。
使用問題的效用函式的特定函式形式， $ U= 3C_1C_2 $ 我們有
$$ \frac {\partial U(C_1,C_2(C_1))}{\partial C_1} = 3C_2 - 3C_1\cdot(1+r) $$ $$ = 3[Y_2 + (1+r)(Y_1-C_1)] - 3(1+r)C_1 $$ $$ = 3Y_2+ 3(1+r)Y_1 - 6(1+r)C_1 \tag{5} $$ 注意
$$ \frac {\partial^2 U(C_1,C_2(C_1))}{\partial C_1^2} = -6(1+r) <0 $$ 所以滿足最大值的二階條件。 環境 $ (5) $ 等於零，我們得到
$$ C_1^* = \frac {Y_2}{2(1+r)}+ \frac 12 Y_1 \tag{6} $$ 從 $ (6) $ 我們得出結論，第一期的消費永遠不會低於該期禀賦的一半，而且它是利息的負函式。此外，消費者會發現在什麼時候借款是最優的
$$ C_1^* > Y_1 \implies \frac {Y_2}{2(1+r)}+ \frac 12 Y_1 > Y_1 $$ $$ \implies Y_2 > (1+r)Y_1 $$ 使用問題的具體數值假設， $ Y_1 = 1000, Y_2 = 5000, r=0 $ ， 我們獲得
$$ C_1^* = \frac {5000}{2}+ \frac 12 1000 = 3000 $$