Marshalian 和 Hickisian 需求和 Slutsky 方程
每個人。
我有以下問題：
消費者俱有以下間接效用函式：
$ V(p_1,p_2,b) = (p_2k-b)p_1^{-1} \left[ \frac{2p_2k - 2b}{p_2} \right]^{-2}, x_2 < k $
a) 求商品 2 的 Marshalian 需求。
b) 求商品 2 的希克斯需求。
c) 證明斯盧茨基方程適用於好的 2。
d) 為什麼需要 $ x_2 < k $
對於a）我發現：
$ \boxed{\boxed{ x_2(p_1,p_2,b) = \frac{2b-p_2k}{p_2} }} $
對於 b)：
$ \boxed{\boxed{ x_2^c(p_1,p_2,\bar{U}) = k - \frac{P_2}{2P_1 \cdot \bar{U} }}} $
對於 c) 更換後 $ E(p_1,p_2, \bar{U}) $ 和 $ p_1 \cdot x_1(p_1,p_2,b) + p_2 \cdot x_2(p_1,p_2,b) $ 我發現 $ \bar{U} = \frac{p_2^2}{(p_2k-b) 4p_1} $ 並使用它
$ \frac{\partial x_2(p_1,p_2,b)}{\partial p_2} = \frac{\partial x_2^c(p_1,p_2,\bar{U})}{\partial p_2} - \frac{\partial x_2(p_1,p_2,b)}{\partial b} \cdot x_2(p_1,p_2,b) $
我能夠證明雙方是平等的。
對於 d）這是我嘗試過的：
使用羅伊的身份我們可以找到
$ x_1(p_1,p_2,b) = \frac{p_2k - b}{p_1} $
假設商品 1 的需求是正的，那麼我們必須有：
$ \frac{p_2k - b}{p_1} > 0 $
自從 $ p_1 > 0 $ ，我們可以將不等式重寫為
$ p_2k - b > 0 $
但
$ b = p_1x_1 + p_2x_2 $ ,
所以
$ p_2k - p_1x_1 - p_2x_2 > 0 \therefore p_2 \cdot (k - x_2) > p_1x_1 \therefore k-x_2 > \frac{p_1x_1}{p_2} $ ， 因為 $ p_2 $ 是積極的。
現在，自從 $ p_1 > 0 $ 並假設 $ x_1 > 0 $ ， 我們有 $ \frac{p_1x_1}{p_2} > 0 $ , 這反過來意味著
$ k-x_2 > 0 \therefore \boxed{\boxed{x_2 < k, Q.E.D.}} $
我的回答正確嗎？在 c) 中是否有更快的方法來查找 $ \bar{U} $ 所以我可以在 Hickisian 需求中替換它並證明 Slutsky 方程適用於好的 2？
我很感激任何投入。
祝你好運，佩德羅。
儘管我的老師尚未驗證我對 d) 的解決方案（我認為這是不正確的），但他分享了他的答案和條件 $ x_2<k $ 源於積極性 $ V(p_1,p_2,b) $ 從預算不平等 $ p_1x_1+p_2x_2≤b $ . 其他答案都是正確的。