具有一般效用函式的庇古稅
假設人 a 消費商品 $ y $ 對人 b 施加負外部性。個人 a 的效用最大化問題是 $$ \max_{x_a,y_a} \ u_a(x_a,y_a), $$ 受制於 $$ p_x x_a+p_y y_a=e_a. $$ 一階條件是 $$ \underbrace{\frac{\partial u_a}{\partial{y_a}}}{\substack{\text{marginal} \ \text{private} \ \text{benefit}}}-\underbrace{\frac{p_y}{p_x}\frac{\partial u_a }{\partial x_a}}{\substack{\text{marginal}\ \text{private cost}}}=0. $$
社會福利最大化問題是 $$ \max_{x_a,\ y_a, \ x_b} \ u_a(x_a,y_a)+u_b(x_b,y_a), $$ 受制於 $$ \begin{align*} p_xx_a+p_yy_a&=e_a,\ p_xx_b&=e_b. \end{align*} $$ 一階條件是 $$ \underbrace{\frac{\partial u_a}{\partial y_a}}{\substack{\text{marginal} \ \text{private} \ \text{benefit}}}-\underbrace{ \underbrace{\frac{p_y}{p_x}\frac{\partial u_a }{\partial x_a}}{\substack{\text{marginal} \ \text{private cost}}}\ \ + \underbrace{\frac{\partial u_b}{\partial y_a}}{\substack{\text{marginal} \ \text{external} \ \text{cost}}}}{\text{marginal social cost}}=0,\\ $$ 在哪裡 $ \partial u_b/\partial y_a<0 $ .
最優的庇古稅應該使競爭均衡達到社會最優。但是，由於某種原因，當我將人員 a 的預算約束重寫為 $ p_x x_a+(p_y+t) y_a=e_a $ 並設置 $ t $ 等於邊際外部成本，當我再次解決人 a 的效用最大化問題時，我沒有得到社會最優的一階條件。我究竟做錯了什麼？
個體的一階條件 $ a $ 當價格 $ y $ 等於 $ p_y(1+t) $ 是（誰）給的： $$ \frac{\partial u_a}{\partial y_a} = p_y(1+t) \left(\frac{1}{p_x} \frac{\partial u_a}{\partial x_a} \right) $$
重寫社會均衡的一階條件給出： $$ \frac{\partial u_a}{\partial y_a} = p_y\left[1 + \left(\frac{p_x}{p_y} \dfrac{- \dfrac{\partial u_b}{\partial y_b}}{\dfrac{\partial u_a}{\partial x_a}}\right)\right]\left(\frac{1}{p_x}\frac{\partial u_a}{\partial x_a}\right) $$
所以我們看到兩者在以下情況下是相等的： $$ t = \frac{p_x}{p_y}\frac{-\dfrac{\partial u_b}{y_b}}{\dfrac{\partial u_a}{\partial x_a}} $$
這是您擁有的邊際外部成本，但您必須通過個人收入的邊際效用對其進行標準化 $ a $ 這等於： $$ \dfrac{\dfrac{\partial u_a}{\partial x_a}}{p_a} $$ 劃分方式 $ p_y $ 是因為稅收是按商品價格的一部分計算的 $ y $ .