嚴格的偏好關係和效用表示

假設我有一個理性的偏好關係 $ \succsim $ 在一些消費集上 $ X $ .

還假設有一個效用函式 $ u:X \to \mathbb{R} $ 代表 $ \succsim $ .

定義：一個函式 $ u: X \to \mathbb{R} $ 是表示偏好關係的效用函式 $ \succsim $ 如果，對於所有人 $ x, y \in X $ ,

$$ x \succsim y \iff u(x) \geq u(y) $$ 是否可以證明 $ x \succ y \iff u(x) > u(y) $ 沒有連續性條件 $ \succsim $ ?

我的直覺說不，但很難找到合適的反例。任何幫助表示讚賞。

是的：

如果方向

$$ x \succ y \Rightarrow x \not \precsim y \Rightarrow u(x) > u(y). $$ 僅當方向：

對所有人 $ x, y \in X $ , $$ x \succsim y \iff u(x) \geq u(y) $$ 暗示 $$ x \sim y \iff u(x) = u(y). $$ 還 $$ u(x) > u(y) \Rightarrow u(x) \geq u(y) \Rightarrow x \succsim y , $$ $$ u(x) > u(y) \Rightarrow u(x) \not = u(y) \Rightarrow x \not\sim y. $$ 和 $$ x \succsim y \mbox{ AND } x \not\sim y \Rightarrow x \succ y. $$

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/8698