效用函式必須具有哪些屬性才能定義水平集和無差異曲線？
我在 Math SE 上問了一些關於這裡的水平集的問題。
根據我所學到的，似乎我們通常假設一個水平集 $ L(f) $ 及其作用 $ f $ 定義於 $ \Bbb{R}^n $ 具有以下屬性：
- $ f $ 是連續的
- 因此，水平集中的曲線是閉合曲線。（不知道為什麼）
- 所有閉合曲線都“收斂”到一個點。（不知道為什麼）
- 該點將是函式的最大值：該點的導數將為零，因為如果不是，則該點將是 1-流形，這是荒謬的。
- $ \nabla f \neq 0 $ 在其餘的點上
我不明白我們如何知道消費束的偏好關係具有效用函式表示，使得這些屬性成立。根據我的教授的說法，我們使用水平集來描述無差異曲線。
因此，如果無差異曲線由水平集描述，則該水平集必須具有上面列出的屬性。請注意，對於經濟學，我們正在考慮一個函式 $ U(\mathbf{x}) $ ， 在哪裡 $ \mathbf{x}=(x_1,…,x_n) $ , 和水平集 $ L(U) $ . 另外，請注意 $ U: \Bbb{R}^n\rightarrow \Bbb{R} $ .
我的問題：
在經濟方面，我們必須做出什麼假設來確保， $ U $ , $ L(U) $ 有這些屬性來創建用於無差異曲線的水平集嗎？
理想情況下，最好有一個假設的列舉列表（即 1、2、3）。
看理性偏好 $ \succeq $ 在 X 上定義，賦予 X 一些度量（因此假設它是一個度量空間）。假設 X 也是可分離的（例如 $ \mathbb{R}^n $ 滿足這個條件，但更一般）。現在我們讓 $ \succeq $ 是 (i) 有理的（完全的，傳遞的），(ii) 連續的（這意味著如果 $ x^n\rightarrow x $ , $ y^n\rightarrow y $ 和 $ x^n \succeq y^n $ $ \forall n $ ， 然後 $ x \succeq y $ . 在這種假設下，它可以用一個連續的效用函式來表示。1. u 在上述條件下是連續的。2. 水平集中的曲線是閉合的。從無差異關係是閉集和連續效用表示這一事實得出：取 $ x^n \sim y\quad \forall n $ 通過偏好的連續性 $ x \sim y $ ，現在這意味著 $ u(x^n) $ 是水平曲線上的序列 $ u(x^n)=u(y) $ 對於固定 y 和以上 $ u(x)\rightarrow u(y) $ 從而使其關閉。其他屬性在需要更多假設的意義上更深，例如，要具有 u 的梯度，它必須是可微的，極值的唯一性需要水平曲線的某種凸性等等。