為什麼我不能使用 TMoLM 來解決這個極樂點問題？
我在一個特定的幸福點問題上遇到困難。我遇到的基本問題是我的方法似乎有缺陷，我不知道為什麼。
方程是
$$ U(x,y) = 36x -4x^2 + 6y-2y^2 $$ 受制於
$$ 5x + 7y=40 $$ 我的第一反應是使用拉格朗日乘數法。但是我今天下午的考試中有這個，我的教授說我不應該在這裡使用它。我不明白為什麼。我使用wolfram alpha進行了嘗試，也手動解決了它並得到了相同的結果
$$ (4.78,2.29) $$ 近似為最優捆綁。但似乎這不是我應該使用的構想。
然後我有了另一個想法。我可以解決
$$ U_x=U_y=0 $$因為在極樂點你應該讓 MU 等於零。 $$ \begin{align*} 36-8x &= 0 \ x&=\frac{36}{8}=4.5\ 6-4y&=0\ y&=\frac{6}{4}=1.5 \end{align*} $$ 但這會導致與僅使用 TMoLM 不同的結果。
我的問題：
有人可以解釋為什麼 TMoLM 不是正確的方法嗎？為什麼它會導致與我的教授建議和其他人在評論中所說的不同的結果？
這完全取決於您將預算約束視為平等約束還是不平等約束。這是兩個不同的問題，在這種情況下有兩種不同的解決方案。
問題的一個版本（為了清楚起見，以 denesp 建議的形式重寫目標，並刪除常量）是
$$ \begin{align} \max~&-4(x-4.5)^2 -2(y-1.5)^2\\text{s.t. }&5x+7y=40 \end{align} $$ 有了這個等式約束，最優值是 $ (x,y)=(4.78,2.29) $ 正如您使用拉格朗日乘數和 Wolfram alpha 的方法所發現的那樣。確實，您更喜歡少消費並停留在幸福點，但是如果我們假設預算約束是相等的，那麼您就不能少消費。 問題的另一個版本是
$$ \begin{align} \max~&-4(x-4.5)^2 -2(y-1.5)^2\\text{s.t. }&5x+7y\leq40 \end{align} $$預算約束不等式 。在這裡，正如您所指出的，很明顯，最佳值是 $ (x,y)=(4.5,1.5) $ ，因為這是全域最大化效用函式的消費概況（並且它服從預算不平等）。 假設預算約束是不等式通常更合適（假設你總是可以“扔掉”額外的財富）。
在解決其中一些約束是不等式的約束優化問題時，我們需要對稱為Karesh-Kuhn-Tucker (KKT) 條件的拉格朗日乘子的基本方法進行推廣，您的課程中可能沒有涉及。您可以在連結的維基百科文章中更詳細地了解這一點，但基本思想很簡單：我們仍然可以設置拉格朗日，我們將約束寫為 $ g(x,y)=5x+7x-40\leq 0 $ 然後減去 $ \lambda g(x,y) $ 從目標：
$$ \mathcal{L} = -4(x-4.5)^2 -2(y-1.5)^2 - \lambda(5x+7y-40) $$ 然後我們可以將偏導數等同於 0 ( $ \partial\mathcal{L}/\partial x = 0 $ 和 $ \partial\mathcal{L}/\partial y=0 $ ) 得到兩個條件 $$ \begin{align} \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}&=0 \Longleftrightarrow 8(x-4.5)=-5\lambda\tag{1}\ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}&=0 \Longleftrightarrow 4(y-1.5)=-7\lambda\tag{2} \end{align} $$ 那麼問題來了，如何確定 $ \lambda $ . 你可能習慣於尋找 $ \lambda $ 通過查看哪個值導致預算約束保持相等。然而，在這種情況下，這意味著 $ \lambda<0 $ . 這對於 KKT 條件下的不等式約束是不允許的，這需要 $ \lambda\geq 0 $ 。** 自從 $ \lambda $ 原來是財富的邊際效用，這個約束無異於說更多的財富（這緩解了不平等）不應該傷害我們。 KKT 條件也有一個稱為互補鬆弛的要求，它表明不等式必須在最優值處綁定（保持相等），否則 $ \lambda $ 必須為 0。（因為 $ \lambda $ 衡量約束的“成本”，這是合乎邏輯的：如果約束不具有約束力，則成本必須為 0，並且它不應該影響您的局部優化問題。）我們已經看到，如果預算約束成立平等，我們得到 $ \lambda<0 $ ，這是不允許的，所以互補鬆弛意味著我們唯一剩下的選擇是 $ \lambda=0 $ . 將其代入上面的（1）和（2），我們得到 $ (x,y) = (4.5,1.5) $ ，這是您已經直覺地找到的解決方案。
通常，在介紹性微觀中不需要使用完整的 KKT 條件，因為我們使用的是單調的效用函式，您總是希望用盡預算約束。具有內部極樂點的簡單凹二次效用，就像在這種情況下，是一個例外，我們需要一個非常簡單的 KKT 條件案例來正確地進行優化。
**注意：當然，如果我們添加 $ \lambda g(x) $ 而不是將其減去拉格朗日，符號相反。我見過很多不同的約定，我會選擇一個 $ \lambda $ 非負數。維基百科文章使用相反的約定。