消費者理論
為什麼我們需要 UMP 和 EMP？
我知道拉格朗日乘數在消費者理論中有兩個常見的應用：效用最大化問題（UMP）和支出最小化問題（EMP）。
這些對我來說似乎是同一個問題，但不同的參數是重點。為什麼我的教授強調這些理論之間二元性的重要性？我不明白為什麼兩者都需要。
我的問題：
UMP 和 EMP 在多大程度上是不同的經濟理念/問題，而不僅僅是簡單地以不同的方式在數學上陳述同一件事？
只有滿足偏好單調性等特定條件，UMP 和 EMP 的解才會一致。因此，它們是不同的問題。
對偶性很重要，因為拉格朗日乘數經常具有經濟意義。在 UMP 中，預算約束的拉格朗日乘數等於貨幣的邊際效用。在 EMP 中，預算約束的拉格朗日乘數等於效用的邊際成本。
在 EMP 中，您可以輕鬆地將消費者替換為決定使用哪些輸入來創建輸出的公司。在這種情況下，拉格朗日乘數將顯示產出的邊際成本。
以類似的方式，您還可以將 UMP 更改為公司必須在某些類型的輸出之間做出決定並試圖以最大化利潤的方式分配資源的問題。（例如：有 $ m $ 工時和可以承擔的幾種項目。）
UMP 和 EMP 的最優解有不同的用途。EMP導致福利分析例如：補償變化和等效變化使用支出函式。UMP 給出了最優消費束並允許研究財富效應。
對偶性在高級優化中很有用。您目前的 UMP 和 EMP 研究只是對它的簡單介紹。