為什麼MRS的定義遵循隱函式定理？
構想一：
據我了解， $ MRS $ 計算為
$$ dU = U_x dx + U_y dy =0 $$ 通過重排產生 $$ \frac{dy}{dx}= -\frac{U_x}{U_y} $$ 所以假設我有
$$ U(x,y) = \ln x +\ln y $$然後 $$ \frac{dy}{dx}= -\frac{1/x}{1/y} = -\frac{y}{x} $$ 好的。所以我有一個功能 $ y $ 按照 $ x $ .
思維導圖 2：
現在考慮我的 $ U(x,y) $ 再次。讓
$$ \mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1\ 1 \end{bmatrix} $$ 和$$ U(\mathbf{a})=0 $$ 我們有$$ DU(x,y) = \begin{bmatrix} \frac{1}{x} & \frac{1}{y} \end{bmatrix} $$ 和$$ \frac{\partial U}{\partial y} (\mathbf{a}) = \begin{bmatrix}\frac{1}{y}\end{bmatrix}= 1 $$這是非奇異的，因為 $ \det(1) = 1 $ 所以由隱函式定理，$$ U = 0 $$定義 $ y $ 隱含地作為 $ x $ 在附近 $ \mathbf{a} $ . 我的問題：
這兩種構想是如何联繫起來的？第一個是根據差異來說明的。但第二個不是。所以我很困惑為什麼定義 $ MRS $ 由隱函式定理得出。
這實際上很簡單。兩個變數的隱函式定理如下（只要一些正則條件成立）：
為了 $ F(x, y) = 0 $ ,
$ \frac{dy}{dx} = -\frac{\partial F / \partial x}{\partial F / \partial y} $
在MRS的情況下，我們希望邊際變化 $ x $ 與邊際變化有關 $ y $ 需要保持一定的效用水平， $ c $ ，例如（方便地） $ c=0 $ . 所以，從
$ U = U(x, y) = 0 $ ,
我們有
$ \frac{dy}{dx} = -\frac{U_x}{U_y} $
注意 $ c=0 $ 只是為了說明的簡化。對於一般 $ c $ ，你可以從等式的任一側減去它，你會得到相同的結果，因為 $ c $ 在導數中消失。