為什麼eHx,pX=−s是σeX,pXH=−s是σvarepsilon_{x,p_x}^H =-s_y sigma?
假設我有兩種商品 $ x $ 和 $ y $ 及其相關價格 $ p_x $ 和 $ p_y $ . 收入 $ m $ . $ x^H $ 是希克斯需求和 $ x^M $ 是馬歇爾需求。
斯盧茨基方程：
$$ \frac{\partial x^M}{\partial p_x} = \frac{\partial x^H}{\partial p_x} -\frac{\partial x^M}{\partial m} x^M $$ 彈性版本：
$$ \varepsilon_{x,p_x}^M = \varepsilon_{x,p_x}^H - \eta_x s_x $$ $$ s_x = \frac{p_x x}{m} $$ 我的教授聲稱
$$ \varepsilon_{x,p_x}^H =-s_y \sigma $$，但即使被問到也沒有給出證明。我的 TA 也無法提供。 $ \sigma $ 是替代彈性
我的問題：
有人可以說明原因嗎 $ \varepsilon_{x,p_x}^H =-s_y \sigma $ ?
首先我們需要定義替代彈性 $ \sigma $ . 這可能是一個困難且令人困惑的概念。（如果您想大吃一驚，請查看Stern 調查中的表 2，該表對不少於 10 個替代彈性概念進行了分類！）。
也就是說，您的教授提到的公式僅在有兩種商品時才成立，因此我假設我們將自己限制在兩種商品的情況下-在那裡，定義替代彈性是（對於大多數部分）明確。我首先將其定義為（減去）邊際效用比率的反彈性 $ x $ 和 $ y $ 與它們的數量之比，使整體效用水平保持不變 $ u $ :
$$ \sigma\equiv - \left.\left(\frac{\partial \log(U_x/U_y)}{\log(x/y)}\right)^{-1},\right|_{U=u} $$ 這測量了兩者之間無差異曲線的曲率 $ x $ 和 $ y $ ： 越高 $ \sigma $ （即更可替代 $ x $ 和 $ y $ ），無差異曲線越接近直線。 現在，希克斯需求在無差異曲線上最小化支出。這涉及設置邊際效用比率等於價格比率：
$$ U_x(x^H,y^H)/U_y(x^H,y^H)=p_x/p_y $$ 因此我們可以重新解釋 $ \sigma $ 作為（減去）相對希克斯需求相對於相對價格的彈性： $$ \sigma=-\frac{\partial \log(x^H(p,u)/y^H(p,u))}{\log(p_x/p_y)}\tag{1} $$ 因為分母只有相對價格 $ p_x/p_y $ ，它不取決於我們如何改變這個相對價格（例如，通過提高 $ p_x $ 與降低 $ p_y $ ）。假設我們只是在加註 $ p_x $ ，然後使用你的 $ \varepsilon $ 為簡單起見，彈性符號： $$ \sigma=-\frac{\partial \log(x^H(p,u)/y^H(p,u))}{\log(p_x)}=\varepsilon^H_{y,p_x}-\varepsilon^H_{x,p_x}\tag{2} $$ 在這一點上，我們為希克斯需求引入了一個簡單的恆等式，即商品相對於某個價格的彈性總和，由它們的份額加權，為零（證明如下）： $$ s_x\varepsilon^H_{x,p_x}+s_y\varepsilon^H_{y,p_x}=0\tag{3} $$ 自從 $ s_x=1-s_y $ , 我們可以將 (3) 重寫為 $$ (1-s_y)\varepsilon^H_{x,p_x}+s_y\varepsilon^H_{y,p_x}=s_y\cdot(\varepsilon^H_{y,p_x}-\varepsilon^H_{x,p_x})+\varepsilon^H_{x,p_x}=0\tag{4} $$ 但是（4）中括號中的項只是替代彈性 $ \sigma $ ，如我們在（2）中所示。重新排列，我們已經證明了你教授的說法 $$ \varepsilon^H_{x,p_x}=-s_y\sigma $$ 如預期的。
(3) 的證明。我們知道，在保持收入不變的情況下，馬歇爾式的支出在價格發生任何變化後必須保持不變。支出彈性 $ x $ 關於 $ p_x $ 是 $ 1+\varepsilon^M_{x,p_x} $ （結合價格和數量的變化），以及支出的彈性 $ y $ 關於 $ p_x $ 是 $ \varepsilon^M_{y,p_x} $ . 按初始份額加權，這些總和必須為 0：
$$ s_x(1+\varepsilon^M_{x,p_x})+s_y\varepsilon^M_{y,p_x}=0 $$ 代入彈性 Slutsky 方程，我們得到 $$ s_x + s_x(\varepsilon^H_{x,p_x}-\eta_xs_x)+s_y(\varepsilon^H_{x,p_x}-\eta_ys_x)=0 $$ 其中，一旦我們使用以下事實 $ \eta_xs_x+\eta_ys_y=1 $ （隨著收入的增加，總支出按比例增加），有一個 $ -s_x $ 取消 $ s_x $ 在前面，並減少到只有 (3)： $$ s_x\varepsilon^H_{x,p_x}+s_y\varepsilon^H_{y,p_x}=0\tag{3} $$ 如預期的。這是控制希克斯需求的一個非常重要的恆等式：它表示，當我們改變價格時，首先以舊價格訂購希克斯需求的成本保持不變（這與它是“補償”需求有關：在本地，它將花費與舊價格相同）。