Hamada 公式的證明（槓桿和無槓桿 beta 之間的關係）
Hamada 的公式如下：
$$ \beta_{U}=\left[\frac{1}{1+\frac{D}{E}(1-\tau)}\right]\beta_{L}, $$ 在哪裡 $ \beta_{U} $ 和 $ \beta_{L} $ 分別是公司的無槓桿和槓桿貝塔。 $ D $ 是債務的市場價值。 $ E $ 是股票的市場價值和 $ \tau $ 是稅率。
有人可以提供這個公式的證明嗎？我在網際網路上找到了一些來源，儘管它們並不令人信服。
感謝所有的先進。
證明：回想一下
$$ \beta_{i} = \frac{\mathrm{Cov}(r_{i},r_{m})}{\mathrm{Var}(r_{m})}. $$
現在，無槓桿和槓桿股本的回報由下式給出
$$ r_{U} = \frac{\mathrm{EBIT}(1-\tau) - \mathrm{CAPEX} + \mathrm{Depreciation}}{E_{U}} $$ $$ r_{L} = \frac{\mathrm{EBIT}(1-\tau) - \mathrm{CAPEX} + \mathrm{Depreciation} + \mathrm{Net\ Debt} - \mathrm{Interest}}{E_{L}}, $$
分別。
所以，
$$ \beta_{U} = \frac{\mathrm{Cov}\left(\frac{\mathrm{EBIT}(1-\tau) - \mathrm{CAPEX} + \mathrm{Depreciation}}{E_{U}},r_{m}\right)}{\mathrm{Var}(r_{m})} $$ $$ \beta_{L} = \frac{\mathrm{Cov}\left(\frac{\mathrm{EBIT}(1-\tau) - \mathrm{CAPEX} + \mathrm{Depreciation + \mathrm{Net\ Debt} - \mathrm{Interest}}}{E_{L}},r_{m}\right)}{\mathrm{Var}(r_{m})}. $$
與 $ \beta_{U} $ 方程，
$$ \begin{align} \beta_{U} &= \frac{\mathrm{Cov}\left(\frac{\mathrm{EBIT}(1-\tau) - \mathrm{CAPEX} + \mathrm{Depreciation}}{E_{U}},r_{m}\right)}{\mathrm{Var}(r_{m})} \ &= \frac{\mathrm{Cov}\left(\frac{\mathrm{EBIT}(1-\tau)}{E_{U}} - \frac{\mathrm{CAPEX}}{E_{U}} + \frac{\mathrm{Depreciation}}{E_{U}},r_{m}\right)}{\mathrm{Var}(r_{m})} \ &= \frac{\mathrm{Cov}\left(\frac{\mathrm{EBIT}(1-\tau)}{E_{U}}, r_{m}\right) + \mathrm{Cov}\left(\frac{-\mathrm{CAPEX}}{E_{U}}, r_{m}\right) + \mathrm{Cov}\left(\frac{\mathrm{Depreciation}}{E_{U}},r_{m}\right)}{\mathrm{Var}(r_{m})} \ &= \frac{\mathrm{Cov}\left(\frac{\mathrm{EBIT}(1-\tau)}{E_{U}}, r_{m}\right)}{\mathrm{Var}(r_{m})} + \frac{\mathrm{Cov}\left(\frac{-\mathrm{CAPEX}}{E_{U}}, r_{m}\right)}{\mathrm{Var}(r_{m})} + \frac{\mathrm{Cov}\left(\frac{\mathrm{Depreciation}}{E_{U}},r_{m}\right)}{\mathrm{Var}(r_{m})}.\ \end{align} $$
自從 $ E_{U} $ 是上一財政年度無槓桿股權的價值，它是恆定的。因此，
$$ \begin{align} \beta_{U} &= \frac{\mathrm{Cov}\left(\frac{\mathrm{EBIT}(1-\tau)}{E_{U}}, r_{m}\right)}{\mathrm{Var}(r_{m})} + \frac{\mathrm{Cov}\left(\frac{-\mathrm{CAPEX}}{E_{U}}, r_{m}\right)}{\mathrm{Var}(r_{m})} + \frac{\mathrm{Cov}\left(\frac{\mathrm{Depreciation}}{E_{U}},r_{m}\right)}{\mathrm{Var}(r_{m})} \ &= \frac{1}{E_{U}} \left[ \frac{\mathrm{Cov}\left(\mathrm{EBIT}(1-\tau), r_{m}\right)}{\mathrm{Var}(r_{m})} - \frac{\mathrm{Cov}\left(\mathrm{CAPEX}, r_{m}\right)}{\mathrm{Var}(r_{m})} + \frac{\mathrm{Cov}\left(\mathrm{Depreciation}, r_{m}\right)}{{\mathrm{Var}(r_{m})}} \right] \ &= \frac{1}{E_{U}} \left[\beta_{\mathrm{EBIT}(1-\tau)} - \beta_{\mathrm{CAPEX}} + \beta_{\mathrm{Depreciation}}\right]. \end{align} $$
我們接下來假設市場、資本支出、折舊、淨債務和利息之間的相關性是 $ 0 $ . 也就是說，我們假設 $ \beta_{\mathrm{CAPEX}} = \beta_{\mathrm{Depreciation}} = \beta_{\mathrm{Net\ Borrowing}} = \beta_{\mathrm{Interest}} = 0. $ 因此，無槓桿的等式，通過類似的計算，槓桿貝塔由以下公式給出：
$$ \begin{align} \beta_{U} &= \frac{1}{E_{U}} \left[\beta_{\mathrm{EBIT}(1-\tau)}\right] \implies E_{U}\beta_{U} = \left[\beta_{\mathrm{EBIT}(1-\tau)}\right] \ \beta_{L} &= \frac{1}{E_{L}} \left[\beta_{\mathrm{EBIT}(1-\tau)}\right] \implies E_{L}\beta_{L} = \left[\beta_{\mathrm{EBIT}(1-\tau)}\right] \ \end{align} $$
等式產生
$$ \begin{align} E_{U}\beta_{U} &= E_{L}\beta_{L} \ \implies \beta_{U} &= \frac{E_{L}}{E_{U}} \beta_{L}.\ \end{align} $$
現在，對於一家無槓桿的公司來說，眾所周知：
$$ A_{U} = L_{U} + E_{U} \implies E_{U} = A_{U} - L_{U}. $$
假設這家公司的資產和負債是固定的，但新發行的債務資本除外。也就是說，公司是有槓桿的，因此， $$ \begin{align} E_{L} &= \left(A_{U} + \mathrm{Tax\ Shield}\right) - \left(L_{U} + D\right) \ &= \left(A_{U} - L_{U}\right) - D + \mathrm{Tax\ Shield} \ \implies E_{L} &= E_{U} - D + \mathrm{Tax\ Shield}.\ \end{align} $$
因此，我們需要計算稅盾。假設債務的稅前成本為 $ k_{d} $ . 所以，
$$ \begin{align} \mathrm{Tax\ Shield} &= \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{k_{d}D\tau}{(1+k_{d})^{i}} \ &= k_{d}D\tau \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{(1+k_{d})^{i}} \ &= k_{d}D\tau \cdot \frac{1}{k_{d}} \ \implies \mathrm{Tax\ Shield} &= D\tau.\ \end{align} $$
所以
$$ \begin{align} E_{L} &= E_{U} - D + D\tau \ \implies E_{L} &= E_{U} - D(1-\tau) \ \implies E_{U} &= E_{L} + D(1-\tau).\ \end{align} $$
回想起來 $ \beta_{U} = \frac{E_{L}}{E_{U}} \beta_{L} $ 並將我們新創建的方程代入 $ E_{U} $ 產量
$$ \begin{align} \beta_{U} &= \frac{E_{L}}{E_{U}} \beta_{L} \ &= \frac{E_{L}}{E_{L} + D(1-\tau)}\beta_{L} \ \implies \beta_{U} &= \left[\frac{1}{1 + \frac{D}{E}(1-\tau)}\right]\beta_{L}, \ \end{align} $$
按要求。謝謝。