使用跳躍擴散模型定價的普通看漲期權

我正在閱讀一本名為 Quant Job Interview Questions and Answers 的書，遇到了以下問題及其答案，但無法理解，因此非常感謝您的建議：

問題 2.4：

假設 Black Scholes 世界中的兩種資產具有相同的波動率但不同的漂移。假設其中一項資產在隨機時間經歷向下跳躍。這將如何影響期權價格？

回答：

我們用初始成本建構一個投資組合 $ C_{BS}(0,S_0) $ 有時以與選項相同的值結束（如果沒有發生跳轉），有時以較低的值結束（如果發生跳轉）。因此，不考慮套利，跳躍股票的期權價值必須大於 $ C_{BS}(0,S_0) $ .

所以我的疑問是：“套利考慮”怎麼會得出上述結論？

沒有套利意味著你不能有一個沒有風險的積極預期的投資組合。讓我們假設帶有跳躍的選項的價值低於 $ C_{BS}(0,S_0) $ 請在時間 0 考慮以下投資組合：

1. 隨價格跳漲賣出 BS 對沖期權 $ C_{BS}(0,S_0) $ .
2. 隨價格跳漲購買期權 $ P_J(0,S_0) $ .
3. 保留剩下的錢 $ C_{BS}(0,S_0)-P_J(0,S_0) $ 在投資組合中。

在時間 t：

1. 繼續賣出 BS 對沖期權，價格跳漲 $ C_{BS}(t,S_t) $ .
2. 保留價格跳躍的選項 $ P_J(t,S_t) $ .
3. 保留剩下的錢 $ C_{BS}(0,S_0)-P_J(0,S_0) $ 在投資組合中。

在 t=0 時，投資組合的價值為： $$ -C_{BS}(0,S_0)+P_J(0,S_0)+C_{BS}(0,S_0)-P_J(0,S_0)=0 $$ 在成熟時，如果沒有發生跳躍，則對沖是完美的，因此： $ C_{BS}(T,S_T)=P_J(T,S_T) $ 投資組合的價值是： $$ -C_{BS}(T,S_T)+P_J(T,S_T)+C_{BS}(0,S_0)-P_J(0,S_0)>0 $$ 如果發生向下跳躍，你有 $ C_{BS}(T,S_T)<P_J(T,S_T) $ 由於對沖在到期時以較低的價值結束。這意味著到期時的投資組合價值為： $$ -C_{BS}(T,S_T)+P_J(T,S_T)+C_{BS}(0,S_0)-P_J(0,S_0)>0 $$ ==> 套利！

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/50953