尋找最優 Markowitz 權重的表達式
所以有兩種資產的收益率 $ r_1 $ 和 $ r_2 $ 具有相同的變異數和相關係數 $ p $ . 無風險利率為 $ r_f $ .
我需要找到兩個資產的最佳 Markowitz 權重的表達式。
書上說答案是（ $ s_1 - p s_2 $ )/
$$ ($s_1-s_2$)*($1-p$) $$，但我不確定這有什麼意義，因為我不知道 s 的意思。 謝謝
讓 $ s_1 = r_1 -r_f $ 和 $ s_2 =r_2-r_f $ . 然後，這是最大化問題：
$$ \begin{align*} & \ \max_{w_1, w_2} SR = \frac{\mu_p}{\sigma_p}, , \mbox{ subject to}\ \mu_p = & \ w_1 s_1 + w_2 s_2,\ \sigma_p^2 = & \ \sigma^2\big(w_1^2 + w_2^2 + 2 w_1 w_2 \rho\big),\ 1 = & \ w_1+w_2. \end{align*} $$ 通過一定的替換，我們將問題轉換為以下 $$ \begin{align*} \max_{w_1} \frac{w_1(s_1-s_2)+s_2}{\sqrt{w_1^2 + (1-w_1)^2+2 w_1(1-w_1)\rho}} = \max_{w_1} \frac{w_1(s_1-s_2)+s_2}{\sqrt{2\big(w_1-w_1^2\big)(\rho-1) +1}}. \end{align*} $$ 從一階條件， $$ \begin{align*} (s_1-s_2)\big[2(w_1-w_1^2)(\rho-1)+1\big] -\bigw_1(s_1-s_2) + s_2\big(\rho-1)=0, \end{align*} $$ 我們得到 $$ \begin{align*} (s_1-s_2) + w_1 (s_1-s_2) (\rho-1) - s_2(1-2w_1)(\rho-1)=0, \end{align*} $$ 因此， $$ \begin{align*} w_1 &= \frac{s_1-\rho s_2}{(s_1+s_2)(1-\rho)},\ w_2 &= 1- w_1. \end{align*} $$