投資組合風險中共變異數元素的解釋和單位
鑑於投資組合風險為 $ \mathbf{w}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{w} $ 在哪裡 $ \boldsymbol{\Sigma} $ 是共變異數矩陣，其對角元素 $ \sigma^2_{n} $ 是單個資產收益變異數，其非對角元素是資產的成對共變異數， $ \sigma_{n,\neg n} $
element的解釋是什麼 $ \sigma_{1,2} $ 在 $ \boldsymbol{\Sigma} $ ，你會如何描述它的單位？
如果 $ \sigma_{1,2}=0.1 $ 說以下是否正確？
“資產 1 的平均收益變動與資產 2 的收益變動有 10% 的標準差，反之亦然”
解釋和單位問題，即缺乏一個簡單直覺的答案，正是為什麼 quants/econometricians 等傾向於迴避過多談論共變異數
$$ even if they are absolutely necessary; and frequently used $$. 因此，如果任何涉及共變異數的東西都必須解釋，更不用說解釋了，預設通常是用相關性來表達它，它確實有直覺的單位：有界$$ -1,1 $$0 = 獨立性等。 Cor (1,2) = Cov (1,2) / (sd (1) * sd (2))
Cov (1,2) = Cor (1,2) * 標準差 (1) * 標準差 (2)
所以這裡的“單位”是三個度量的產品混合，每個度量都有自己的單位：兩個波動率和一個有界的關聯度量。因此，它們存在但缺乏直覺的解釋。
最接近的方法是將共變異數表示為權重 1 和 2 乘積中每單位變化的投資組合變異數的邊際變化。出於禮貌，這在極端情況下仍然不優雅；-)
還記得傳統的 OLS beta 可以表示為：
Beta(1|2) = Cov(1,2) / Var(2) = E(d1) / d2
E(d1) = Cov(1,2) * d2/Var(2)
因此 Asset2 中 +1 的變化等於 +0.1 除以 Asset1 的變異數影響。這與說 Asset2 中的 +1 sigma 移動具有 0.1 除以其在 Asset1 上的標準差是一樣的。這與說的相同（其中 Z=1 是 1 sigma 衝擊）：
d1/d2 = Cov(1,2) / Var(2)
d1 / z2 = Cov (1,2) / SD (2)
z1 / z2 = Cov (1,2) / (SD (1) * SD (2)) = Cor (1,2)！
因此，在直覺之上做出您嘗試做出的那種陳述的方法仍然是將您的共變異數轉換為（直覺的）無單位相關性。1 或 2 中的一個 sigma 移動將對另一個產生邊際 Cor(1,2) sigma 影響。
無論您如何處理這個問題，您總是需要通過一個額外的指標（使用它自己的單位，無論是絕對收益、成交量調整收益還是權重）來處理共變異數，以便在此處生成任何直覺的解釋性結果。傳統的w.Cov.w公式對於預測投資組合風險是有效的；但是當涉及到解釋和解釋時，它就失敗了。這就是為什麼出版物不可避免地會優先顯示相關的相關矩陣。兩者將始終為您提供相同的輸出/預測；兩者之間的選擇最終是預測與解釋的問題（即本質上的呈現）。