隨機投資組合理論的直覺解釋
Fernholz 和 Karatzas 發表了多篇關於所謂的隨機投資組合理論的論文。基本上他們說，從長遠來看，投資組合的預期回報是增長率
$$ \gamma = \mu - \frac12 \sigma^2 $$ 比 $ \mu $ ， 在哪裡 $ \mu $ 是價格過程的漂移係數 $ S_t $ 它解決了以下 SDE： $$ dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dB_t. $$ 人們可以用對數正態隨機變數的幾何平均值和類似的伊藤引理爭論——但這背後的直覺是什麼？
作為參考，請參閱Fernholz 和 Shay 的Stochastic Portfolio Theory and Stock Market Equilibrium的第一篇論文，以及低波動性投資組合是否需要“低波動性異常？” 由美丹作為最近的參考。
如果我沒記錯的話，上面的 SDE 看起來像這樣
$$ dS_t = (\mu-\sigma^2/2) S_t dt + \sigma S_t \circ dB_t $$ 以斯特拉托諾維奇的形式，人們看到了“正確的”增長率……這是另一個環節。但是這一切的大局是什麼？
這將取決於“長期回報”的定義。如果我們將長期年化回報定義為 $ \frac{1}{T}\ln \frac{S_T}{S_0} $ 在一段時間內 $ T $ 將來，那麼
$$ \begin{align*} E\left( \frac{1}{T}\ln \frac{S_T}{S_0} \right) = \mu-\frac{1}{2}\sigma^2, \end{align*} $$ 如聲稱的那樣。注意 $ \mu $ 是瞬間或瞬間的回歸。
試圖在這裡闡明一些觀點：
我們在這裡使用這個也看到的是，如果回報是對數正態分佈的，即。
$$ 1 + r = \exp(\mu + \sigma Z), $$ 和 $ Z $ 標準-正常，然後 $$ E[1+r] = \exp(\mu + \frac 12 \sigma^2) $$ 持有。但是幾何平均數 $ GM $ 是（誰）給的 $ \exp(\mu) $ 我們有 $$ \log(GM) = \mu = \log(E[1+r]) - \sigma^2 /2 $$ 和平均年回報 $ aan $ 超過 $ n $ 年
$$ 1 + aan = (\prod_{i=1}^n (1+r_i))^{1/n} $$ 與幾何平均值相同。最後經過 $ n $ 我們有幾年 $$ \prod_{i=1}^n (1+r_i) = (1 + aan)^n $$ 我們應該最關心幾何平均數。 另一項觀察：一罐表明，對於 $ x $ 接近於零它認為
$$ \log(1+x) \approx x - \frac{x^2}{2}. $$ 然後我們得到的期望 $$ E\log(1+x) \approx \mu - \frac{\sigma^2}{2}. $$