Tangency 投資組合和 CML - 為什麼它的夏普比率最高？
在我正在學習的書中，切線投資組合被定義為正常有效投資組合 $ n $ 風險資產和 1 項無風險資產，額外要求投資組合完全投資於風險資產。因此，可以使用均值/變異數分析問題的解決方案推導出切線投資組合：
$$ w = \frac{\mu_P}{\mu^T \Sigma^{-1} \mu}\Sigma^{-1} \mu $$$$ \sigma_P^2 = \frac{\mu_P^2}{\mu^T \Sigma^{-1} \mu} $$在哪裡可以應用限制 $ w $ 獲得投資組合的權重、平均超額收益和變異數。 然而我知道，在其他書中，這個投資組合實際上被定義為夏普比率最高的投資組合。我沒有看到聯繫。如果我們使用上述推導，如何證明這一點？我可以計算出夏普比率（結果是上面第二個等式中分母的平方根），但我怎麼知道它比所有其他風險資產投資對應的比率更大？
你的問題很重要！以正式的方式來證明它非常有趣……但有點複雜……對於非數學家來說很無聊。我們可能會繞過這個展示來解釋大多數投資組合理論。然而，給出這個想法，如果我們有 N 個風險資產，我們將獲得一條半拋物線作為有效邊界，並且無數有效投資組合的權重逐點變化。如果我們有 N 個風險資產 + 一個無風險利率，我們得到一條直線作為有效邊界。現在每個點/投資組合只有一個風險成分……一個切線投資組合。其他有效的投資組合是切線投資組合和無風險資產之間的線性組合。
這條線和其他任何一條線一樣，都有一個斜率……在這個框架中，斜率是夏普比率！這條線是 CML，它與前面的半拋物線相切。對於這條線，移動到半寓言之上是不可能的，但是如果我們移動到（可能）下方，我們就會得到（低效的）CAL……它的斜率更低……所以 CML 具有最大的斜率/夏普比率。就這樣。
切線有幾個屬性：
- 它是切線投資組合的斜率（上升超過執行，即夏普比率）
- 它支配著有效邊界。即，對於任何風險水平，切線上的投資組合收益不小於（>=）有效前沿上的投資組合收益。換句話說，切線上的投資組合相對於有效前沿上的投資組合具有更高的夏普比率。
切線投資組合是與切線相交的投資組合，因此其夏普比率高於其他位於有效前沿的投資組合。