使用 CAPM 推導出以下內容
背景資料：
說有 $ s = 1,\ldots,S $ 具有已知機率的可能的未來結果（狀態） $ \pi_s > 0 $ , $ \sum_{s=1}^{S}\pi_s = 1 $ . 將預期收益定義為 $ \mathbb{E}_\pi\left[X\right] = \sum_s \pi_s x_s = \mu_x $
問題：
CAPM 通常用於計算資產的公平市場價格。為此目的，有兩個從 CAPM 派生的常用定價公式。將價格求解為經風險調整後的貼現預期收益
$$ P = \frac{\mathbb{E}\left[\tilde{X} - \Pi\right]}{(1+r_f)} $$ 另一個將價格求解為通過風險調整貼現率貼現的預期收益
$$ P = \frac{\mathbb{E}\left[\tilde{X}\right]}{(1+r_f + \pi)} $$ 從 CAPM 導出這兩個表達式並確定風險調整收益。
想法：我不熟悉上面的符號，並且在網上參考 CAPM 方程我不知道如何使用它並推導出後者。任何想法或建議都應該有所幫助。
資本資產定價模型的標準公式為：
$$ \begin{equation} \bar{r} = r_f + \beta \cdot ( \bar{r_m} - r_f) \quad (1) \end{equation} $$ 其中： $$ \begin{equation} \bar{r} \textit{ - expected return of an asset} \end{equation} $$ $$ \begin{equation} \ r_f \textit{ - risk-free rate} \end{equation} $$ $$ \begin{equation} \beta \textit{ - beta of an asset} \end{equation} $$ $$ \begin{equation} \bar{r_m} \textit{ - expected market return} \end{equation} $$ 資產的預期收益是資產的預期價格和資產的目前價格的簡單公式。例如，如果目前價格為 2，預期價格為 3，則預期收益為 50%。
$$ \begin{equation} \bar{r} = \frac{E( \tilde{X} ) - P}{ P } \quad (2) \end{equation} $$ 換句話說，價格是折扣後的預期價格：
$$ \begin{equation} \ P = \frac{E( \tilde{X} )}{ 1 + \bar{r} } \quad (3) \end{equation} $$ 結合方程（1）和（3），我們有你的第二個方程：
$$ \begin{equation} \ P = \frac{E( \tilde{X} )}{ 1 + r_f + \beta \cdot ( \bar{r_m} - r_f) } \quad (4) \end{equation} $$ 資產貝塔的公式是：
$$ \begin{equation} \beta = \frac{Cov( \bar{r}, \bar{r_m} )}{ \sigma_m^2} \quad (5) \end{equation} $$ 在對等式（2）稍作修改後，我們可以在等式（5）中使用它。
$$ \begin{equation} \beta = \frac{Cov( \frac{E( \tilde{X} )}{ P } - 1, \bar{r_m} )}{ \sigma_m^2} = \frac{Cov( E( \tilde{X} ), \bar{r_m} )}{ \sigma_m^2 \cdot P} \quad (6) \end{equation} $$ 回到等式（1）
$$ \begin{equation} \bar{r} = r_f + \frac{Cov( E( \tilde{X} ), \bar{r_m} )}{ \sigma_m^2 \cdot P} \cdot ( \bar{r_m} - r_f) \quad (7) \end{equation} $$ 在對等式 (3) 稍加修改並將其與 (7) 結合後，我們有：
$$ \begin{equation} \frac{E( \tilde{X} )}{P} = 1 + r_f + \frac{Cov( E( \tilde{X} ), \bar{r_m} )}{ \sigma_m^2 \cdot P} \cdot ( \bar{r_m} - r_f) \quad (8) \end{equation} $$ 乘以 P 並對方程的元素進行排序後，我們得到：
$$ \begin{equation} \ P= \frac{E( \tilde{X} ) - \frac{ ( \bar{r_m} - r_f)}{ \sigma_m^2} \cdot Cov( E( \tilde{X} ), \bar{r_m} )}{1 + r_f} \quad (9) \end{equation} $$ 也許你注意到表達式中有一個風險公式的市場價格（市場願意為風險支付多少）。我們把它寫成 lambda
$$ \begin{equation} \lambda = \frac{ ( \bar{r_m} - r_f)}{ \sigma_m^2} \quad (10) \end{equation} $$ $$ \begin{equation} \ P= \frac{E( \tilde{X} ) - \lambda \cdot Cov( E( \tilde{X} ), \bar{r_m} )}{1 + r_f} \quad (11) \end{equation} $$ (9) 和 (11) 都是您的第一個公式，它們的寫法不同。我們稱它們為 CAPM 的確定性等價形式。它將價格表示為風險調整後收益的現值的表達。如果資產與市場不相關，那麼結果將是：
$$ \begin{equation} \ P = \frac{E( \tilde{X} )}{ 1 + r_f} \quad (12) \end{equation} $$ 請注意，對於您的第二個公式，將出現完全相同的結果。
如果資產與市場正相關，則調整表達式（13）使價格走低。如果資產與市場負相關，則價格較高。表達式的價值顯然還取決於風險的價值市場價格。
$$ \begin{equation} \ - \lambda \cdot Cov( E( \tilde{X} ), \bar{r_m} ) \quad (13) \end{equation} $$